Podríamos construir un polinomio $P(x)\in\mathbb R[x]$ tales que la secuencia $(x_n)$ que se da en $x_0=P(0)$ $x_{n+1}=P(x_n)$ para cualquier $n\ge0$, es denso en $\mathbb R$?.
Supongo que la respuesta es no, pero no pude comprobarlo.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
La teoría de la iteración de funciones polinómicas es bien entendido. Se suele estudiar en el plano complejo, pero sus métodos y sus resultados se aplican a la línea real.
Para responder a su pregunta:
No bajo la órbita de la iteración de un polinomio es denso en la recta real.
En efecto:
Una órbita de un punto bajo de la iteración de un polinomio $P(x)$ sigue siendo limitada para siempre o se escapa al infinito.
El conjunto de puntos de partida cuya órbita está delimitado forma un conjunto compacto, llamado el lleno de Julia.
Explícitamente, si $P(x)=a_d x^d + \cdots +a_1 x + a_0$, entonces todas las órbitas de partida fuera del círculo de radio de $R = \dfrac{1+|a_d|+\cdots+|a_0|}{|a_d|}$ centrada en el origen de escape al infinito, un límite dado por Douady.
Por lo tanto, una órbita puede ser denso en la mayoría dentro de un intervalo compacto. Esto sucede: $P(x)=x^2-2$ $x_0=0$ es un ejemplo.
Todo esto es la parte elemental de la teoría.
Por esto y mucho más, consulte los libros clásicos de La Belleza de los Fractales y la Ciencia de La Fractal de Imágenes, y las encuestas por Blanchard, Milnor, y Devaney y Entusiasta.
Per Hornshøj-Schierbeck
Puntos
4610
Este es, de hecho, imposible. Vamos a dividir el tratamiento en varios casos.
- Si $P(x)$ es de segundo grado o mayor, entonces la relación de $P(x)/x\to\pm\infty$ al $x\to\pm\infty$. En consecuencia, existe un número real $M>0$ tal que $|P(x)/x|>2$ siempre $|x|>M$. Si $P$ fueron para producir una densa secuencia, entonces existe un $n$ tal que $x_n\in[M,M+1)$. Pero de ello se desprende que $|x_m|>2M$ todos los $m>n$, por lo que la secuencia contiene sólo un número finito de números en el intervalo de $[-2M,2M]$.
- Si $P(x)=ax+b$ es un polinomio lineal con $|a|>1$, el mismo argumento que va a través con factor de $2$ reemplazados con $(|a|+1)/2$.
- Si $P(x)=ax+b$$|a|<1$, $P(x)$ es una contracción con un único punto fijo.
- Si $P(x)=x+b$, entonces se produce una progresión aritmética con intervalo de $b$. Este no es un subconjunto denso.
- Si $P(x)=-x+b$, $P(P(x))$ es de la forma manejado en el caso 4, se obtiene una progresión aritmética y que refleja la copia.
Como dije en un comentario, el polinomio $P(x)=2x^2-1$ produce una secuencia que es denso en el intervalo de $[-1,1]$. Una propiedad clave de este polinomio es que $P(\cos x)=\cos 2x$ todos los $x$. PERO, para que esto funcione tenemos que ser capaces de elegir libremente el punto de partida $x_0$.
Considere el siguiente número, escrito en base dos $$ z=0.01\,00011011\,000001010011100101110111\,\ldots. $$ Es decir,en la parte fraccionaria primero tenemos todas las simples secuencias de bits "0" y "1", seguido por todas las secuencias de dos bits, seguido por todas las secuencias de tres bits et cetera.
Si denotamos por a $\{x\}$ la parte fraccionaria de un número real, entonces, por construcción, el conjunto de $$ A(z)=\left\{\{2^nz\}\,\bigg\vert\ n\in\Bbb{N}\right\} $$ es un subconjunto denso de $[0,1]$. Esto es debido a que cualquier secuencia finita de bits aparecerá como la parte más importante de $\{2^nz\}$ algunos $n$.
Si establecemos $x_0=\cos (2\pi z)$, luego se sigue por la inducción que $$ x_n=\cos(2\pi 2^nz)=\cos(2\pi\{2^nz\}). $$ Por lo tanto, la secuencia de $(x_n)_{n\in\Bbb{N}}$ es denso en $[-1,1]$.
badjohn
Puntos
1
Constante de polinomio obviamente la órbita no es denso.
Grado 1 - también bastante obvio que no densa.
Grado 2 o más:
Por el momento, voy a suponer que el coeficiente de la potencia más alta de $x$ es positivo. Dado que el grado es mayor que 1, por orden de los argumentos de tipo, habrá un punto más allá del cual es mayor que el polinomio lineal $2x$. Si la órbita nunca se supera este límite, entonces claramente no es denso. Si no lo superan, a continuación, después de que el primer punto más allá del límite, por lo menos el doble para cada iteración y por lo tanto no puede ser denso.
Si el coeficiente de la mayor potencia es negativa, se puede simplemente mirar cada segundo punto.
