¿Existe una noción de "schemeification" análoga a la de sheafification de un presheaf?

Question

Así que esta puede parecer una pregunta extraña, pero escúchame. En las Pilas de Proyecto, etiqueta 01I4, nos encontramos con que no sólo la categoría de afín a los esquemas de vivir dentro de la categoría de local rodeada de espacios, sino que los límites de afín esquemas pueden ser calculadas como límites en el ambiente categoría de local rodeada de espacios. En otras palabras, la inclusión functor desplazamientos con estos límites.

También soy consciente de que la razón por la que tenemos sheafification de un presheaf es similar. La inclusión de la categoría de poleas en un espacio es una subcategoría de la categoría de presheaves en ese espacio. Por otra parte, los desplazamientos de los límites y de un cierto pequeñez se satisface la condición que nos permite deducir que el functor adjunto de la teoría se cumple y por lo tanto la inclusión functor tiene un adjunto a la izquierda, a la que llamamos la sheafification functor.

Es cierto que la inclusión de los afín esquemas en la categoría de localmente anillado de los espacios, también admite un adjunto a la izquierda a los que podríamos llamar schemeification? Si es así, ¿a qué se parece? ¿Cómo convertir un localmente anillado espacio en un (afín?) esquema? Si no, lo que falla que no podemos aplicar el functor adjunto teorema?

Answer 1

Hay un "afín schemification", a la izquierda adjunto a la inclusión de los afín esquemas en localmente anillado espacios. De hecho, dado un localmente anillado espacio de $X$, el de la izquierda adjoint sólo envía $X$$\operatorname{Spec} \mathcal{O}_X(X)$. Boceto de la prueba, hay un canónica mapa de $X\to\operatorname{Spec}\mathcal{O}_X(X)$, ya que cada punto de $p\in X$ puede ser enviado al primer ideal de funciones globales que están en el ideal maximal de a $\mathcal{O}_{X,p}$. A continuación, puede comprobar que, en realidad, naturalmente, puede ser hecho en una de morfismos de localmente anillado espacios y es inicial entre todos los morfismos de $X$ a afín esquemas. Ver Teorema V. 3.5 de Peter Johnstone la Piedra espacios para más detalles.

Sin embargo, no hay un "schemeification" si usted permite que todos los esquemas y no sólo afín esquemas. El problema es que los sistemas no tienen límites arbitrarios. Por ejemplo, un infinito producto de la no-afín esquemas normalmente no existe; ver este MO pregunta. Por otro lado, la categoría de local rodeada de espacios de todos los límites (esto no es obvio; véase el Corolario 5 de este documento). De ello se sigue que no puede haber schemeification functor, desde una reflexión subcategoría debe ser cerrado bajo límites. Explícitamente, si usted tiene un diagrama de esquemas que no tiene límite en los esquemas, entonces su límite en el nivel local rodeada de espacios no tiene schemeification, desde su schemeification sería un límite en los esquemas.

Para algunos relacionados con la discusión, ver esta muy bonita respuesta por Martin Brandenburgo.