Supongamos que quieres calcular el número de átomos de una hoja rectangular de grafeno. Podría estimar que la hoja tiene $10^{7}$ átomos a lo largo de un borde y $2*10^{7}$ átomos a lo largo del otro borde. Multiplicando sin perder de vista las unidades, obtenemos
$$10^{7}\text{atoms} * 2*10^{7} \text{atoms} = 2*10^{14} \text{atoms}^2$$
Pero, obviamente, hay $2*10^{14}$ átomos, no $2*10^{14} \text{atoms}^2$ . ¿Qué hay de malo en este cálculo?
Sus "dimensiones" no son del todo "correctas". El cálculo debería ser algo así como $10^{7} \frac{\hbox{atoms}}{\hbox{row}}\times 2\times 10^7 \hbox{row}=2\times 10^{14}$ átomos. De hecho, los átomos son objetos que hay que contar y sumar, como los coches o las peras.
Creo recordar de un curso de matemáticas que los griegos no podían (aparentemente) abstraer números y por eso siempre pensaban en " $5$ " como asociados a los objetos: $5$ manzanas, $5$ guijarros, etc. Así, se podrían añadir manzanas: $5$ manzanas + $5$ manzanas + $5$ manzanas es $15$ manzanas.
La multiplicación era diferente y se consideraba una operación geométrica. Un rectángulo de lados $3$ m y $4$ m tenía una superficie de $3\times 4 =12\hbox{m}^2$ .
Como resultado, ellos (aparentemente) nunca "descubrieron" el resultado general abstracto que $a\times b=b+b+b\ldots$ ( $a$ veces) ya que las dos operaciones eran en cierto modo "incompatibles". Además, como vivimos en $\mathbb{R}^3$ no tenía sentido para ellos multiplicar más que $3$ números juntos.
La OP también quiere equiparar dos operaciones "incompatibles" (en el sentido de los griegos), cuyo resultado coincide numéricamente porque hay que sumar todos los átomos de todas las filas en lugar de "multiplicar" los átomos.
Lamentablemente, no puedo encontrar una fuente que lo confirme.
Por otro lado, los antiguos babilonios, varios siglos (más de mil años) antes que los griegos, tenían un enfoque más algorítmico de las matemáticas, y en sus problemas de juguete (ejercicios para estudiantes, etc.) se contentaban con sumar áreas a volúmenes, etc. (Fuente: véase la página 673 del artículo de Knuth en el CACM de 1972 Algoritmos de la antigua Babilonia .)
No existe una unidad como el átomo $^2$ .
Estás contando el número de objetos (átomos) y así sumando
$10^{7} \,\rm atoms\, + 10^{7} \,\rm atoms\,+10^{7} \,\rm atoms\,+10^{7} \,\rm atoms\,+ . . . . . + 10^{7} \,\rm atoms\,$
con $2*10^{7}$ términos en la suma y lo escribes en "taquigrafía" como
$(10^{7} * 2*10^{7})\, \rm atoms = 2*10^{14} \,atoms$ .
Los átomos no son realmente una unidad. No se combinan de forma correcta cuando se multiplican. Si tienes cuidado, puedes hacer que funcionen en algunas situaciones, como muestran las otras dos respuestas (+1 a ambas).
Pero como has visto, no funcionan en todas partes. No como lo haría una longitud. Si la distancia de átomo a átomo es de 1 Angstrom, no hay problema con un área de $10^{14}$ Angstrom $^2$ .
¿Qué es la unidad? Un recuento es adimensional.
Aun así, la gente suele utilizarlo como una unidad donde funciona. Sólo hay que tener cuidado de no usarlo donde no funciona.
Los físicos son a veces descuidados en aspectos como éste, mientras que los matemáticos son mucho más cuidadosos. Por ejemplo, una función puede tener un valor de $0$ la mayoría de los lugares, pero tienen un pico alto y delgado cerca de $0$ , por lo que el área bajo la espiga es 1. Esto es útil en algunas situaciones. Los físicos encuentran que necesitan que la espiga sea infinitamente estrecha. Así que crearon la función delta de Dirac, que es $0$ en todas partes excepto en $0$ . El valor en $0$ es infinito. El área bajo la espiga es $1$ .
Un matemático encontraría problemas con esa "función" y diría que no existe. Un físico tiene cuidado de utilizarla cuando funciona.
¿Podría explicar por qué dice que no existe? ¿O señalar alguna literatura relevante que me ayude a entender esa afirmación?
@Griffin - mmesser314 sólo está dando un breve resumen de los problemas matemáticos con la función delta de Dirac. Y como siempre ocurre con los resúmenes cortos, simplifica tanto el asunto que es técnicamente incorrecto. Sin embargo, sigue ilustrando la cuestión sin enredarse en los detalles. Los matemáticos sí definen la función, pero requiere un concepto más complicado de "función" o de "infinito" (dos enfoques diferentes). En cualquiera de los dos casos, también se necesita un concepto más complicado de integración.
@Griffin La contradicción ocurre cuando hablamos de la medida de un conjunto, si un conjunto tiene una medida de cero no contribuye a una integral. Un único punto es el conjunto canónico de medida cero. Aquí es donde la función Delta causa problemas, ya que sólo es distinta de cero en un único punto la integral debe ser cero. Como menciona Paul, hay formas de evitar esto, pero todas requieren que alteremos un poco las definiciones.
Lo que falla en tu cálculo es que has sustituido una dimensión por un "recuento".
La forma correcta de hacerlo, sería determinar la longitud de $10^7$ átomos. Suponiendo que ocupen 1cm, entonces $1cm^2$ habría $1x10^{14}$ átomos, y la hoja (1 cm por 2 cm, o 2 $cm^2$ ) contendría ( $1x10^{14}$ átomos/ $cm^2$ x 2 $cm^2$ =) $2x10^{14}$ los átomos.
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Como regla general en física, "contar" cosas (átomos, moléculas, peras, plátanos y demás) no significa ninguna unidad. Al final, cualquier cantidad física se puede dividir en 7 primordiales . También puedes resolver la contradicción así: "Tengo 2 * 10 átomos por fila y 10 filas". Del mismo modo, cuando se tienen 10 cestas con 10 manzanas cada una, no se dice que se poseen 100 manzanas².
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No hay razón para hacer los números tan grandes ni para meter a los átomos en el lío: la situación queda básicamente igual si consideramos un $2 \times 2$ rejilla de manzanas, digamos.
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@QiaochuYuan Esta comunidad no es especialmente abierta en cuanto a las consultas que son relevantes. Así las cosas, la pregunta tiene 6 downvotes. Si pregunto sobre una cuadrícula de 2x2 de manzanas, sería aún peor.
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@MarkEichenlaub Algunos en esta comunidad puede no ser particularmente abierto de mente sobre este específico pregunta, pero obtuvo 22 upvotes, y es una de las más vistas en los últimos días.