Otros ya han señalado que la probabilidad de que al menos un éxito en $n$ ensayos independientes, cada éxito con probabilidad de $1/n$, tiende a $1-1/e \approx 0.63212$ $n$ aumenta. Sin embargo, podría ser de utilidad para averiguar cómo se podría determinar este límite de sí mismo.
Usted ya sabe que la probabilidad exacto de la observación de al menos un éxito en $n$ ensayos es igual a $1$ menos que la probabilidad de observar sin éxito en $n$ ensayos, que a su vez es igual a la probabilidad de un único ensayo fallando elevado a la $n$-ésima potencia. Dada la suposición de que una sola prueba tiene éxito con probabilidad de $1/n$, se produce un error con una probabilidad de $1 - 1/n$, y por lo tanto la probabilidad de $p_n$ de la observación de al menos un éxito en $n$ ensayos es: $$p_n = 1 - \left( 1 - \frac1n \right)^n.$$
En esta fórmula, $n$ aparece dos veces: una vez en el denominador y una vez en el exponente. Ya has observado experimentalmente que, como $n$ aumenta, $p_n$ parece tender a un límite finito $0 < p_\infty < 1$ que es independiente de $n$. Por tanto se puede esperar que, en el límite, los $n$'s de alguna manera deben cancelar. Nuestra tarea, entonces, es de alguna manera manipular la expresión de $p_\infty = \lim_{n\to\infty} p_n$ a un formulario donde podemos algebraicamente cancelar la $n$'s y obtener una forma cerrada de expresión para $p_\infty$.
Para hacer que, de alguna manera nos necesitan para llevar la $n$'s juntos. Nosotros no podemos obtener el $n$ en el exponente abajo, pero nos puede subir la otra $n$ en el exponente demasiado, mediante la sustitución de $1 - 1/n$ con la expresión equivalente a$e^{\log_e(1 - 1/n)}$, y aplicando la regla de $(x^a)^b = x^{ab}$: $$p_n = 1 - e^{\textstyle n \log_e(1 - 1/n)}.$$
(Estrictamente hablando, esta reformulación es sólo válido para $n > 1$, ya que la expresión $1 - 1/n$ debe ser positivo para su logaritmo a ser un bien definida número real. Pero ya que estamos preocupados con el límite de $n \to \infty$, podemos ignorar cualquier caso especial de la participación de pequeños valores de $n$.)
Por supuesto, podríamos haber igual de bien recogidas en cualquier otra base para el logaritmo en lugar de $e$ por encima y se obtuvo una igualmente válida la expresión de $p_n$. Sin embargo, ¿qué tiene de especial el logaritmo natural $\log_e$ es que la derivada de $\log_e(x)$ $x=1$ es igual a $1$.
En particular, esto significa que, para los valores de $x$ cerca de $0$, tenemos la aproximación $\log_e(1 + x) = x + o(x)$, donde $o(x)$ denota adicional de orden superior en términos tales que: $$\lim_{x\to0} \frac{o(x)}{x} = 0.$$
Dejando $x = -1/n$, obtenemos $\log_e(1-1/n) = -1/n - o(1/n)$, que podemos sustituir en la expresión de $p_n$ para conseguir: $$p_n = 1 - e^{\textstyle n\left(-\tfrac1n - o\left(\tfrac1n\right)\right)} = 1 - e^{\textstyle -1 - n \cdot o\left(\tfrac1n\right)}.$$
Como $n$ aumenta, el $n \cdot o(1/n)$ plazo en el exponente tiende a cero, y por lo tanto: $$p_\infty = \lim_{n\to\infty} p_n = 1 - e^{\textstyle -1} = 1 - \frac1e.$$
El general truco aquí es que, para $x$ cerca $0$, $\log_e(1+x) \approx x$ (y, por el contrario, $e^x \approx 1+x$). Así, en particular, $(1+x)^n \approx (e^x)^n = e^{nx}$ al $x \approx 0$.
Si $nx$ también es pequeño, podemos incluso más aproximado $(1+x)^n \approx 1+nx$. Este cuenta con una intuitiva probabilística de la interpretación: si un experimento tiene éxito con una muy pequeña probabilidad de $p \approx 0$, luego repetirlo $n$ veces produce una probabilidad de éxito de $1-(1-p)^n \approx 1-e^{-np} \approx np$, es decir, aproximadamente el $n$ veces mayor que el de un solo experimento.
Para mayor $n$, la segunda aproximación se descompone como la probabilidad de múltiples éxitos se convierte en no despreciable, pero la primera aproximación a $1-(1-p)^n \approx 1-e^{-np}$, que sólo depende de los $p$ siendo pequeña, que todavía se mantiene. En particular, si $n$ $p$ son inversamente proporcionales, de tal manera que $np = c$, entonces la probabilidad de que al menos un éxito tiende a $1-e^{-c}$ $n$ más grandes y $p$ se hace más pequeño.
Otra manera de mirar esto es que estamos efectivamente la aproximación de la distribución binomial de la serie de éxito de los ensayos de $n$ usando una distribución de Poisson con el caso de la tasa parámetro $\lambda = np$. Esta aproximación, que se pone mejor, como $n$ se hace más grande y $p$ se hace más pequeño, entonces se produce una probabilidad de $1 - e^{-\lambda}$ de al menos uno de los eventos que ocurren.
