Pregunta básica de probabilidad - regla de la multiplicación

Question

Me encontré con la siguiente pregunta en un libro de texto (tenga en cuenta que esta es la única información que se da)-

Hay una $50$ por ciento de probabilidad de lluvia hoy. Hay un $60$ por ciento de probabilidad de lluvia mañana. Hay un $30$ por ciento de posibilidades de que no llueva ningún día. ¿Cuál es la probabilidad de que llueva tanto hoy como mañana?

Mi instinto fue multiplicar las probabilidades juntas para hoy y mañana para llegar a una respuesta de $30$ por ciento. Sin embargo, la respuesta dada es $40$ por ciento (basado en la suma de las probabilidades individuales y la resta de su unión). ¿Puede alguien explicarme por qué no se aplica aquí la regla de la multiplicación? ¿Tiene que ver con la independencia? Tened en cuenta que estoy intentando reaprender la teoría de la probabilidad desde cero. Gracias.

Answer 1

Sí, se trata de la independencia. O, mejor dicho, estos eventos son no independiente, lo que por sentido común tiene sentido, ya que si llueve un día, típicamente significa que hay una probabilidad más alta de lo normal de que llueva también al día siguiente (bien podríamos estar en la "temporada de lluvias")

También puedes decir que los sucesos no son independientes dados los números que te han dado. Si los sucesos fueran independientes, la probabilidad de que no lloviera ningún día debería haber sido $0.5 \cdot 0.4=0.2$ pero te han dicho que en realidad es $0.3$ .

¿Qué es? siempre Sin embargo, es cierto (por lo que puede siempre utilizar esta fórmula, tanto si los eventos son independientes como si no), es que:

$$P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$$

Y de ahí puedes derivar lo que desees:

$$P(A \cap B) = P(A) +P(B) - P(A \cup B) = P(A) +P(B)-(1-P(A^C \cap B^C))=$$

$$0.5+0.6-(1-0.3) =1.1-0.7=0.4$$

Answer 2

Sí, la regla de la multiplicación sólo se aplica cuando los sucesos son independientes, y no hay ninguna razón para suponer que los sucesos de lluvia de cada día son independientes.

Para este tipo de problemas, es útil hacer un diagrama de Venn. Hay dos círculos, $A$ y $B$ , representando los acontecimientos de la lluvia de hoy y de mañana. Esto da cuatro regiones: $A\cap B$ (lluvia en ambos días), $A^c\cap B^c$ (no en ambos días), $A\cap B^c$ (lluvia hoy, pero no mañana), y $A^c\cap B$ . La información dada, y el hecho de que la probabilidad total es $1$ nos dice que \begin{align} P(A)=P(A\cap B)+P(A\cap B^c)&=0.5\\ P(B)=P(A\cap B)+P(A^c\cap B)&=0.6\\ P(A^c\cap B^c)&=0.3\\ P(A\cap B)+P(A\cap B^c)+P(A^c\cap B)+P(A^c\cap B^c)&=1 \end{align} Se trata de cuatro ecuaciones en cuatro incógnitas, lo que permite resolver $P(A\cap B)$ .

Answer 3

Cuando sólo tienes dos variables independientes, a veces es más fácil hacer una tabla.

Dejemos que $X$ sea el caso de que llueva hoy y $Y$ sea el caso de que llueva mañana. Se nos da que $P(X)=0.5$ , $P(Y)=0.6$ y $P(\overline X \cap \overline Y)=0.3$ :

$$ % outer array of arrays \begin{array}{lr} % inner 3x3 array in top left corner \begin{array}{c|c|c|} & Y & \overline Y \\ \hline X & P(X \cap Y) & P(X \cap \overline Y) \\ \hline \overline X & P(\overline X \cap Y) & P(\overline X \cap \overline Y)=0.3 \\ \hline \end{array} % inner 3x1 array in top right corner \begin{array}{l} \\ P(X)=0.5 \\ P(\overline X) \end{array} \\ % inner 1x3 array in bottom left corner \begin{array}{ccc} \quad & P(Y)=0.6 & P(\overline Y) \\ \end{array} \end{array} $$

Sabemos que $P(X)+P(\overline X)=1$ e igualmente $P(Y)+P(\overline Y)=1$ Así que podemos completarlo de la siguiente manera:

$$ % outer array of arrays \begin{array}{lr} % inner 3x3 array in top left corner \begin{array}{c|c|c|} & Y & \overline Y \\ \hline X & P(X \cap Y) & P(X \cap \overline Y) \\ \hline \overline X & P(\overline X \cap Y) & P(\overline X \cap \overline Y)=0.3 \\ \hline \end{array} % inner 3x1 array in top right corner \begin{array}{l} \\ P(X)=0.5 \\ P(\overline X)\color{red}{=0.5} \end{array} \\ % inner 1x3 array in bottom left corner \begin{array}{ccc} \quad & P(Y)=0.6 & P(\overline Y)\color{red}{=0.4} \\ \end{array} \end{array} $$

Sabemos que las filas suman a través y las columnas suman hacia abajo, así que:

$$ % outer array of arrays \begin{array}{lr} % inner 3x3 array in top left corner \begin{array}{c|c|c|} & Y & \overline Y \\ \hline X & P(X \cap Y) & P(X \cap \overline Y)\color{red}{=0.1} \\ \hline \overline X & P(\overline X \cap Y)\color{red}{=0.2} & P(\overline X \cap \overline Y)=0.3 \\ \hline \end{array} % inner 3x1 array in top right corner \begin{array}{l} \\ P(X)=0.5 \\ P(\overline X)=0.5 \end{array} \\ % inner 1x3 array in bottom left corner \begin{array}{ccc} \quad & \,P(Y)=0.6 & \quad\quad\, P(\overline Y)=0.4 \\ \end{array} \end{array} $$

Y por último:

$$ % outer array of arrays \begin{array}{lr} % inner 3x3 array in top left corner \begin{array}{c|c|c|} & Y & \overline Y \\ \hline X & P(X \cap Y)\color{red}{=0.4} & P(X \cap \overline Y)=0.1 \\ \hline \overline X & P(\overline X \cap Y)=0.2 & P(\overline X \cap \overline Y)=0.3 \\ \hline \end{array} % inner 3x1 array in top right corner \begin{array}{l} \\ P(X)=0.5 \\ P(\overline X)=0.5 \end{array} \\ % inner 1x3 array in bottom left corner \begin{array}{ccc} \quad & \,P(Y)=0.6 & \quad\quad\, P(\overline Y)=0.4 \\ \end{array} \end{array} $$