¿Cómo solucionarlo?

Question

¿Cómo puedo solucionar la siguiente ecuación? $$-20=15 \sin \theta- 30.98 \cos \theta$$

No puedo pensar en alguna forma de solucionarlo. No factor a coseno por los veinte negativos poco molestosas, y si se divide por coseno que también nada.

Answer 1

Hay muchos enfoques. Una forma es traer las cosas de $\sin\theta$ a un lado y el resto al otro. Cuadrado ambos lados y reemplazar $\sin^2\theta$ $1-\cos^2\theta$. Conseguimos una cuadrática en $\cos\theta$. Resolver y para cada solución Compruebe si es una solución de la ecuación original.

Para otro enfoque, considera más generalmente $a\cos\theta+b\sin\theta=c$. Reescribir como %#% $ #%

Encontrar un ángulo $$\sqrt{a^2+b^2}\left(\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}\cos\theta+\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}\sin\theta\right)=c.$ cuyo seno es $\varphi$ y cuyo coseno es $\frac{a}{\sqrt{a^2+b^2}}$. Luego nuestra ecuación dice que $\frac{b}{\sqrt{a^2+b^2}}$$ ahora encontrar $$\sin(\theta+\varphi)=\frac{c}{\sqrt{a^2+b^2}}.$ y entonces el $\theta+\varphi$.

Answer 2

Si estás familiarizado con los vectores básicos, pueden razonar la fórmula de $a\cos\theta + b\sin\theta $ como esta % $ $$20 = 30.98 \cos \theta - 15\sin \theta = \langle 30.98, -15 \rangle \bullet \langle \cos \theta, \sin\theta \rangle = C \cos(\theta - \alpha) $

$C = \sqrt{30.98^2 + 15^2}$
$\alpha = \arctan\left(- \dfrac{30.98}{15}\right)$