¿No puede un espacio de $1d$ nunca ser curvado?

Question

Me preguntaba acerca de este: artículo de la Wikipedia que me refiero (aquí me refiero a la primera parte: métrica) Este artículo de la wikipedia afirma que este espacio hiperbólico modelo tiene curvatura constante $-1.$ creo que están hablando de la sección transversal de la curvatura de aquí, porque ellos escriben una métrica en $n-$ coordenadas. Ahora, tengo dos preguntas:

Lo que está por $n=1$: En ese caso, creo que una de Riemann tensor de curvatura siempre será cero debido a sus propiedades de simetría, por lo que no puede ser cualquier curvatura de la $1d$ de los casos, a la derecha?

Es allí una manera de argumentar que, dado que la curvatura seccional es $-1$ en el caso de $n=2$ (curvatura de Gauss de Poincaré disco es -1) tiene que ser $-1$ $n \ge 3$ y cualquier plano, demasiado? Por un argumento de simetría, la seccional de curvatura debe ser independiente del plano en el que estamos considerando en un punto de $n \ge 3$(debido a que la métrica es la misma en todas las coordenadas). En realidad, quiero suponer que una métrica que es de conformación de la identidad siempre tiene esta propiedad. A pesar de, no veo por qué tiene que ser $-1$ $n \ge 3$ sin llevar a cabo un complicado cálculo.

Answer 1

Para la primera pregunta: Correcta: -- un espacio multidimensional que no puede tener curvatura intrínseca; el tensor de Riemann siempre se desvanece.

Para el segundo: En 3 dimensiones espacio hiperbólico, la curvatura Gaussiana de una geodésica avión va a ser $-1$, porque es en sí misma un 2-dimensional espacio hiperbólico. Esto se ve más fácilmente considerando la hyperplane, que está representado en la pelota modelo de un avión a través del centro de la bola. Ya que los puntos en el espacio hiperbólico son todos igual de buenos (algo que vale la pena probar de forma independiente, mostrando una isometría que se mueve cualquier punto dado en el centro de la mancha), esto vale para todos los geodésica plano a través de la hiperbólico 3-espacio.

Sin embargo, es un poco problemático para ampliar esto para decir que la curvatura de Gauss de espacio hiperbólico es $-1$. Es decir, la idea de "la curvatura Gaussiana" es inherentemente alrededor de 2 dimensiones de los colectores -- en un colector de mayor dimensión de un solo número no es en general suficiente para describir la curvatura en un punto determinado. (Ahora hay demasiados grados de libertad en el tensor de Riemann. Usted puede contratar con ellos lejos para conseguir un escalar de curvatura número, pero eso ya no se lo contara todo acerca de la geometría intrínseca del espacio).