5 votos

Caracterización intuitiva de la gráfica de una función dos veces diferenciable

En la escuela secundaria libros de texto, las siguientes caracterizaciones a menudo se encuentran:

Una función es continua si su gráfica puede dibujarse sin levantar el lápiz.

y

Una función es diferenciable si su gráfica no tiene curvas.

Es allí una manera similar intuitiva caracterización de dos veces diferenciable funciones basándose en la forma de la gráfica de la función solo? Por supuesto, podemos decir cosas como "una función dos veces diferenciable si la gráfica de su tasa de cambio no tiene curvas" pero que en realidad no ayuda cuando se trata de reconocer la gráfica de una función derivable dos veces.

Un ejemplo notable de donde esto podría ser relevante es cúbico B-splines, que son ampliamente utilizados en el diseño y la arquitectura y, a menudo aparecen como "perfectamente lisa" formas, a pesar de que son, en general, sólo dos veces diferenciable en las articulaciones entre el individuo spline polinomios.

5voto

bubba Puntos 16773

En un punto donde una función no es $C_2$ (es decir, no dos veces diferenciable), habrá una discontinuidad en la curvatura de su gráfica. En otras palabras, la curvatura va a saltar abruptamente de un valor a otro. Los diseñadores pueden ver estos saltos, si son lo suficientemente grandes, pero muchas personas no pueden. Usted puede probar algunos experimentos con arcos circulares que se unen de forma tangencial, para juzgar a su propia sensibilidad y capacidad de observación.

Sin embargo, los saltos llegar a ser muy visible si la curva se utiliza para crear una superficie y, a continuación, la luz es reflejada desde la superficie. A los diseñadores les gusta mirar las reflexiones de líneas rectas en sus superficies. Estos son normalmente llamados "refleja" o "líneas de reflexión" en el negocio del diseño. Si una superficie tiene un no$C_2$ unirse, entonces su reflejo líneas tienen esquinas afiladas, donde se cruzan esta combinación, que tendrá un aspecto bastante feo. Así, las superficies de los órganos de coches (por ejemplo) son siempre $C_2$. De hecho, son a menudo $C_3$, o mejor, que asegura que el reflejo de las líneas de se $C_2$.

Así, cúbico b-splines no se utiliza mucho en el diseño de carrocerías de automóviles. Que están bien para pequeñas superficies o no-las superficies brillantes, donde los reflejos no son tan visibles, pero no para la gran y brillante. Los diseñadores de autos suelen utilizar mayor grado splines, no cúbicas.

Hay otra arruga. Las curvas utilizadas en aplicaciones de diseño son generalmente paramétrico. Para estos, la relación entre la continuidad de los derivados y la continuidad de curvatura es bastante complejo. Por supuesto, los diseñadores se preocupan sólo por la curvatura; no les importa acerca de los derivados.

Para más información, vea esta pregunta/respuesta y este papel.

2voto

m0j0 Puntos 181

Esto puede ser una respuesta poco satisfactoria, pero:

Una función $f(x)$ es dos veces diferenciable si la gráfica de $f(x)$ ni la gráfica de $f'(x)$ tiene curvas muy cerradas en la región de interés.

Si me fuera dado

$$f(x) = \left\ {\begin{array}{l l} x^2 & \quad \text{if %#%#%}\\ -x^2 & \quad \text{if %#%#%} \end{matriz} \right.,$$

No creo que pude averiguar que no era dos veces diferenciable (en $x \geq 0$) por mirar solamente un gráfico del $x < 0$.

Necesito Ver la curva cerrada en $x=0$ $f(x)$.

i-Ciencias.com

I-Ciencias es una comunidad de estudiantes y amantes de la ciencia en la que puedes resolver tus problemas y dudas.
Puedes consultar las preguntas de otros usuarios, hacer tus propias preguntas o resolver las de los demás.

Powered by:

X