Sección cónica: ¿Qué es la matriz de coordenadas de la forma bilineal?

Question

Dado es la sección cónica $x^2 + xy + y^2 + 2x +3y - 3 = 0$.

Necesito encontrar la matriz de coordenadas $M_\beta(s)$ de la forma bilineal $s: \mathbb{R}^2 \times \mathbb{R}^2 -> \mathbb{R}$.

Primero leí este artículo: http://en.wikipedia.org/wiki/Matrix_representation_of_conic_sections

Así que simplemente puse

$A_Q = \begin{pmatrix} 1 & 0.5 & 1 \\ 0.5 & 1 & 1.5 \\ 1 & 1.5 & -3 \end{pmatrix}$ (Puesto que A = B = C = 1, D = 2, E = 3 y F =-3).

¿$A_Q$ Es la matriz de coordenadas?

Answer 1

Tenga en cuenta que una sección cónica se expresa a través de la matriz $A_Q$ $$\mathbf{x}^T\,\mathbf{x}=\begin{pmatrix}x & y & 1\end{pmatrix} \begin{pmatrix}a & b & c \\ b & d & e\\ c & e &f \end{pmatrix}\!\begin{pmatrix}x \\ y \\ 1\end{pmatrix}=ax^2+2bxy+2cx+d y^2+2ey+f.$$ Si queremos que el particular cónica $x^2+xy+y^2+2x+3y-3=0$, podemos encontrar por inspección que $(a,b,c,d,e,f)=(1,\frac12,1,1,\frac32,-3)$, lo que valida la respuesta dada en la OP.

Por otra parte, se observa que a pesar de $\mathbf{x}\in\mathbb{R}^3$ sólo depende de $(x,y)\in\mathbb{R}^2$. Por esta razón, la forma bilineal $M\big((x_1,y_1),(x_2,y_2)\big)=\mathbf{x_1}^T A \,\mathbf{x}_2$ se calcula utilizando vectores en $\mathbb{R}^3$ pero realmente es un mapeo de $\mathbb{R}^2\times \mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ como era deseado.