El Espacio de Hilbert de (quantum) teoría de Gauge

Question

Desde cuántica de la teoría de Gauge es un mecánico-cuántica de la teoría, si alguien podría explicar cómo construir y escribir en el Espacio de Hilbert de cuántica de la teoría de Gauge con spin-S. (¿Hay algo más rico/sutiles de lo que acaba de decir el Espacio de Hilbert están compuestos por el espacio de estado de una cantidad infinita de conjuntos y una cantidad infinita de modos de osciladores armónicos? - es decir, más rico/sutiles que de costumbre spin-0 campos escalares' espacio de Hilbert?) Es el cuántica de la teoría de Gauge del Espacio de Hilbert escrito en un tensor de la forma del producto o no (por ejemplo. pensando en poner esta teoría de gauge en el enrejado)?

Si hay diferencias de este procedimiento de construcción de espacio de Hilbert para estos tres casos:

(1) spin-1 cuántica de la teoría de Gauge con Abelian $U(1)$ simetría

(2) girar-1 cuántica de la teoría de Gauge con no Abelian (como $SU(N)$) simetría

(3) spin-2 cuántica de la teoría de Gauge (Gravedad? o cualquier otra cosa)

También, si el indicador de redundancia desempeña los roles? ¿Hay algo similar como Faddeev-Popov fantasmas que sucedió en la ruta integral de formalismo, cuando uno trata con el indicador de redundancia?

Answer 1

En el noninteracting caso, el espacio de Hilbert apropiado para un medidor de campo de la teoría de cualquier giro es un espacio de Fock sobre la 1 de partículas en el espacio de soluciones de la clásica gratis de calibre ecuaciones de campo para el mismo giro. (Para spin 1, el asociado de partículas noninteracting gluones si estos existen.) Este espacio es de espíritu libre. Las diferencias de las diferentes tiradas sólo se encuentran en la estructura diferente de las clásicas ecuaciones de campo.

Este espacio de Hilbert puede ser descrita de muchas diferentes pero equivalentes formas.

Como la otra respuesta menciona, es generalmente representado por medio de BRST cohomology, ya que esto le da a la mayoría de los tracable normaliza teoría de la perturbación. Aquí los fantasmas aparecen desde el BRST espacio de Hilbert es incrustado en una mayor indefinido-interior-espacio del producto. (El fantasma físico libre de espacio de Hilbert es recuperado como el cociente entre el núcleo de la BRST cargo $Q$ por la imagen de $Q$. Desde $Q$ satisface $Q^2=0$, es análoga a la del exterior derivado $d$, que satisface $d^2=0$, y da lugar a BRST cohomology de la misma manera como $d$ da lugar a la tradicional de Rham cohomology.)

Para un abelian medidor de campo de la teoría, hay más elemental de las descripciones de los noninteracting espacio de Hilbert. Por ejemplo, un libre cuántica del campo electromagnético reside en el espacio de Hilbert de cuadrado integrable funciones de $A(p)$ de la luz de cono impulso $p$ ($p^2=0,p_0>0$) en un degenerado, pero positiva, semidefinite producto interior donde todas las funciones con $A(p)$ paralelo a $p$ han norma cero. Esto le da a la descripción de los fotones en óptica cuántica. (Ver, por ejemplo, la entrada "¿Qué es un fotón?" en el Capítulo B2: los Fotones y los Electrones de mi física teórica de preguntas frecuentes en la http://www.mat.univie.ac.at/~neum/physfaq/physics-faq.html .

El espacio de Hilbert adecuadas para una interacción de la teoría de campo de gauge es desconocido. Esto no es sorprendente, ya que es desconocido para cualquier interacción teoría del campo en 4D. Lo poco que se sabe acerca de la situación en este caso se puede encontrar en un libro reciente escrito por F. Strocchi, Una introducción a los no-perturbativa fundamentos de la teoría cuántica de campos, Oxford Univ. Press, 2013.

Answer 2

El espacio de Hilbert de una teoría de gauge es definido por BRST simetría o para ser más precisos, BRST cohomology.

En la ruta integral de formalismo, es necesario introducir los fantasmas con el fin de fijar el medidor para un no-abelian teoría. Esta teoría contiene ahora los estados negativos de la norma, por lo que es un pseudo-espacio de Hilbert. El Lagrangiano de esta teoría tiene un adicional de simetría, es decir, una simetría en la que el fantasma de los campos de actuar como infinitesimal parámetros. Asociado con esta simetría son una Noether actual y un Noether cargo, este último se conoce como el BRST cargo. El BRST cargo es un nilpotent operador, es decir,$Q^2=0$. Este comportamiento permite definir un cohomology, que puede ser entendido de la siguiente manera:

Desde el BRST cargo es un operador cuántico, podemos preguntarnos qué sucede cuando dejamos actuar en algún estado $|\Psi\rangle$. Debido a que el operador $Q$ es nilpotent, $Q|\Psi\rangle=0$ si $|\Psi\rangle$ puede ser escrito como $|\Psi\rangle=Q|\Phi\rangle$, es decir,

$$Q|\Psi\rangle=Q^2|\Phi\rangle=0.$$

Pero también existe la posibilidad de que los estados de fuga bajo la acción de la BRST cargo sin ser definido por $Q|\Phi\rangle$. Tales estados se dice que en el cohomology de la carga del operador. Son identificados como los estados físicos de la teoría y no contienen fantasmas o antighosts. Además, se puede argumentar que la cohomology no cambia bajo unitario tiempo de evolución debido al hecho de que el Hamiltoniano desplazamientos con $Q$.

El BRST formalismo también funciona para la teoría de cuerdas, que contiene partículas de spin 2, es decir, gravitones.