Esta pregunta implica problema 5(viii) en el capítulo 1 de Spivak del Cálculo, de la tercera edición.
Yo soy un profano en la materia, tratando de enseñar a mí mismo algunos de los más avanzados de matemáticas, y a pesar de que he estado haciendo lento el progreso a través del libro, este problema me tiene perplejo.
La pregunta es la siguiente:
Si $0 \leq a < b$$0 \leq c < d$, demuestran $ac < bd$.
Esta pregunta tiene respuestas diferentes, dependiendo de si $a$ $b$ son igual a cero o no. Creo que el caso más difícil es la ubicación de $a, b \ne 0$, por lo que esa es la que voy a utilizar aquí.
Mi intento:
En una pregunta anterior, he comprobado que si $a < b$$c > 0$$ac < bc$. Esto se hace multiplicando: $(a < b)c = ac < bc$.
A partir de ahora voy a utilizar la notación que Spivak usa, donde $a < b$ significa que $b - a$$P$. Esto me deja con $b - a$$d - c$, ambas en $P$. Spivak ha establecido que esto significa que usted puede multiplicar los dos juntos.
Voy a enumerar los pasos que he seguido:
- $(b - a)(d - c) = bd - bc - ad + ac$
- $ bd - bc - ad + ac = bd - (bc + ad - ac)$
- $bd - (bc + ad - ac) = bd > (bc + ad - ac)$
- $bd > (bc + ad - ac) = bd > (bc + ad > ac)$
- $bd > (bc + ad > ac) = bd > bc + ad > ac$
Esto parece demostrar que $ac < bd$ (que es lo que la pregunta), pero la parte $bd > bc + ad$ es evidentemente incorrecto. Un simple ejemplo lo demuestra:
Si $2 > 1$$3 > 2$,$6 > 7 > 2$.
La intuición dice que el me que los dos separados desigualdades $bd > bc > ac$ $bd > ad > ac$ son correctos, pero no tengo idea de cómo puedo formalmente obtener estas desigualdades para "dividir", por así decirlo.
Ayuda sería muy apreciada!
...
Editado por la ortografía. Y gracias por ayudarme con el problema de los chicos!
