Línea a través del origen mod $1$ visita cada cubo secundario en $\mathbb{R}^n$.

Question

Deje $v$ ser el vector $[a_1,a_2,\ldots,a_n]$ cuando la $a_i$'s son enteros positivos con $\gcd(a_1,\ldots, a_n)=1$. Deje $C$ ser el hipercubo $[0,1]\times [0,1]\times \cdots \times [0,1]$ $\mathbb{R}^n.$ Imaginar la línea dada por $vt$ $t$ se ejecuta a través de los números reales mod $1$, es decir que a medida que la línea de hojas de $C$, vuelve a aparecer en la cara opuesta y continúa. Este es un periódico de la operación, puesto que el $a_i$'s son enteros. Por lo $C$ está lleno de líneas.

Ahora, dada $M$, partición de $C$ a $M^n$ sub-cubos, $[b_1/M,(b_1+1)/M]\times \cdots [b_n/M,(b_n+1)/M]$, donde el $b_i$'s de la gama de más de $0,1,2,\ldots M-1$.

Me gustaría que las condiciones en el vector $v$, lo que garantiza que la línea de las visitas de cada sub-cubo. He probado todo tipo de Diophantine aproximación cosas, pero el único resultado claro que tengo es de $n=4$. Sería más útil es el de las condiciones de izquierda sólo un número finito de $v$ para que la línea no visitar todos los sub-cubos.

A la espera de una recompensa en un par de días.

Edit: Algunos antecedentes. Hay una función de $F$ $n$ variables que es periódica de periodo (en todas las variables). $F$ tiene algunos ceros dispersas alrededor de la $n$-dimensiones del cubo. Me gustaría enlazado $F(vt)$ lejos del cero. A este fin, yo estoy esperando una condición que me dice cuando la línea $vt$ se ve obligado a estar cerca de cero (y cuando está lejos). En mi comentario, dije que "esperanza" sólo un número finito, pero sé que eso es una quimera. (Aunque yo lo puede hacer por $n=4$.) Aún así, debe haber una manera de cuantificar el "desordenado" de el periódico de la línea es en la $n$-dimensional del cubo, basado en algunas mcd-ish condiciones de los componentes de la $v$...?

Answer 1

Así que mi opinión es que estamos considerando la línea (segmentos) dada por $$ \left\{ \begin{gathered} x_{\,1} = a_{\,1} \;t\;\bmod 1 = \left\{ {a_{\,1} \;t} \right\} \hfill \\ x_{\,2} = a_{\,2} \;t\;\bmod 1 = \left\{ {a_{\,2} \;t} \right\} \hfill \\ \quad \vdots \hfill \\ x_{\,n} = a_{\,n} \;t\;\bmod 1 = \left\{ {a_{\,n} \;t} \right\} \hfill \\ \end{reunieron} \right.\quad \Rightarrow \quad \mathbf{x} = \left\{ {\mathbf{a}\;t} \right\}\quad \left| \begin{gathered} \;a_{\,k} \in \;\;\mathbb{Z}\,_ + \; \hfill \\ \;\gcd (a_{\,1} ,\, \cdots ,a_{\,n} ) = 1 \hfill \\ \end{reunieron} \right. $$ donde $\left\{x \right\}$ es la parte fraccionaria de $x$, es decir, $$ \left\{ x \right\} = x - \left\lfloor x \right\rfloor $$ y bien, y la función del suelo se supone que se aplican a vectores en componentes sabio.

Esa premisa, nos vamos a invertir el esquema:
considerar el espacio se divide en una red de hyper-cubos con unitaria lados y vamos a la línea de "libre" para ejecutar todo el espacio, es decir, a través de los cubos de los n-D celosía.
Vamos a individualizar cada cubo según el piso de las coordenadas de los puntos que contiene, eso es de acuerdo a $\left\lfloor \mathbf{x} \right\rfloor $, que son las coordenadas de su menor vértice. Eso también significa que cada cubo para individualizada, se incluyen las caras con menor coordenadas y excluir a los demás.

Partiendo del origen, en la línea de atravesar el cubo de $(0,\, \cdots ,\, 0)$ y continuar a través de los otros.
Si en atravesar un cubo, el segmento de línea dentro de ella tiene la misma relación de coordenadas como el segmento que va desde el origen, a continuación, se va a individualizar un ciclo, igual que en el esquema original propuesto.
Coordenadas relativas mismo como el segmento que va desde el origen, significa un pariente $(0,\, \cdots ,\, 0)$ punto de origen del segmento, es decir, un punto con la forma de coordenadas.

Por lo tanto, estamos buscando para los valores del parámetro $t$ tal que $$ \left\{ {\mathbf{a}\;t} \right\} = \mathbf{0}\quad \Rightarrow \quad \left\{ {t\;\gcd (a_{\,1} ,\, \cdots ,a_ {\n} )} \right\} = 0\quad \Rightarrow \quad \left\{ t \right\} = 0\quad \Rightarrow \quad t \en \;\;\mathbb{Z}\; $$ Tendremos una repetición en cada bloque de $t \, (a_{\,1} ,\, \cdots ,a_{\,n} )$.
El número de bloques que la línea atraviesa desde el origen hasta el punto en $t=1$ (excluido) le corresponden, en el esquema original, el número de los distintos segmentos en el interior del cubo.
Tenemos un límite de la cruz cada vez que uno de los componentes de $\left\{ {\mathbf{a}\;t} \right\}$ pasa null, y $$ \left\{ {a_{\,k} \;t} \right\} = 0\quad \left| {\;0 \leqslant t < 1} \right.\quad \Rightarrow \quad t \en \left\{ {0, \;\frac{1} {{a_{\,k} }},\; \cdots ,\;\frac{{a_{\,k} - 1}} {{a_{\,k} }}\quad \left| {\;1 \leqslant k \leqslant n} \right.} \right\} $$

Ya que podría ser que $\gcd (a_{\,k} ,a_{\,j} \ne 1$ $k, j$ desde $1$$n$, algunos de los valores de $t$ podría ser coincidente, y la expresión anterior se entiende en realidad como un conjunto.
Si $\gcd (a_{\,k} ,a_{\,j}) = m$ a continuación, se tienen $m-1$ elementos del conjunto en común, por lo que la cardinalidad del conjunto depende de la mutua $\gcd$s entre los componentes de $\mathbf a$.

Sin embargo, tenemos que

número de cruces = número de segmentos diferentes en el esquema original, $\leqslant 1-n+a_{\,1} + a_{\,2} + \, \cdots + a_{\,n} $

Para tener una infinita no. de los diferentes segmentos, al menos uno de los $a_k$ debe ser irracional.