Cualquier referencia que explica genera relación de equivalencia

Question

Im buscando una referencia que caracteriza cuando una relación de equivalencia puede generarse de una relación y da una explicación clara de la misma.

Answer 1

Recordemos que la relación de equivalencia generada por una relación es la más pequeña relación de equivalencia que contiene. De forma equivalente, la relación de equivalencia $S$ generado por una relación $R$ es tal que $(x,y)$ $S$ si y sólo si no existe $n\geqslant0$ $(x_k)_{0\leqslant k\leqslant n}$ tal que $x= x_0$, $y = x_n$, y para cada $1\leqslant k\leqslant n$, $(x_{k-1},x_{k})$ o $(x_{k},x_{k-1})$ pertenece a $R$.

Ya que cada relación es de equivalencia generada por sí mismo, para cada relación de equivalencia existe una relación con la generación de la misma.

Para obtener $R\subseteq S$ generación $S$, se puede borrar de $S$ algunos o todos de los siguientes: (1) todos los $(x,x)$, (2) $(x,y)$ o $(y,x)$ por cada $x\ne y$ tal que $(x,y)$$S$, (3) $(x,y)$ tal que $(x,z)$ $(z,y)$ están en $S$ algunos $z\ne x,y$.

Answer 2

Usted puede también ver fácilmente sin una construcción explícita que la intersección de todas las relaciones de equivalencia que contiene $R$ es una relación de equivalencia.