Probabilidad: el valor esperado en un juego de dados.

Question

Si se lanza un dado hasta que la suma de los números que aparecen en la cara superior del dado supera o es igual a 100, ¿cuál es la suma más probable?

Answer 1

Esto ha sido calculado varias veces en el sitio, así que vamos a presentar algo de la teoría subyacente.

La teoría de renovación trata con sumas $(S_n)$ de incrementos no negativos i.i.d. $(X_n)$ con una distribución integrable común $\mu$ y pregunta por las ocurrencias de estas sumas justo antes y justo después de algún tiempo dado.

Así, se establece $S_0=0$, $S_n=X_1+\cdots+X_n$ para todo $n\geqslant1$, $\mathcal S=\{S_n\mid n\geqslant0\}$ y, para todo tiempo no negativo $t$, $L_t=\max\mathcal S\cap[0,t]$ y $U_t=\min\mathcal S\cap(t,\infty)”.

Un resultado estándar de la teoría es que, en tiempo continuo, es decir, cuando la distribución $\mu$ es continua, $U_t-L_t$, $U_t-t$ y $t-L_t$ convergen en distribución. Más precisamente, $U_t-L_t$ converge en distribución a una versión sesgada por tamaño $\hat X$ de $X_1$, cuya distribución tiene densidad $x/E[X_1]$ con respecto a $\mu$. Además, $$ (U_t-L_t,U_t-t,t-L_t)\to(\hat X,Z\hat X,(1-Z)\hat X)\quad\text{en distribución}, $$ donde $Z$ es uniforme en $(0,1)$ e independiente de $\hat X$. En particular, el llamado tiempo de espera residual $U_t-t$ tiene densidad $g$ con respecto a la medida de Lebesgue, con $$ g(x)=\frac{\mu([x,\infty))}{E[X_1]}. $$ En particular, $g$ es máximo en $x=0$ y $g(0)=1/E[X_1]$.

Esto sugiere que, en el caso actual (discreto), la sobrepasada más probable cuando $t\to\infty$ es $0$, lo cual sucede con probabilidad $6/21=2/7$. Es cierto que hay algunas diferencias sutiles con el entorno continuo ya que se pregunta por $V_n-n$, donde $V_n=\min\mathcal S\cap[n,\infty)$ ($n$ incluido). Pero el resultado anterior probablemente se mantenga y el tiempo $t=100$ probablemente ya sea lo suficientemente grande para que estas asintóticas se apliquen. De todos modos, la distribución asintótica de la sobrepasada en $\{0,1,2,3,4,5\}$ es $$ \frac6{21},\ \frac5{21},\ \frac4{21},\ \frac3{21},\ \frac2{21},\ \frac1{21}. $$