Me preguntaba qué pasaría si intentáramos hacer un operando de módulo con números complejos. Por ejemplo, ¿cuál sería la respuesta (si la hay) a la siguiente declaración?
$ x \mod (a + bi) $
¿se puede hacer? si es así, ¿alguien podría explicarlo?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
(Esto solía ser un comentario, pero ya es demasiado largo).
La respuesta rápida es: Sí, es muy posible, y de hecho muy productivo, definir la idea de congruencia módulo de un número complejo en lugar de un número entero positivo ordinario.
Un poco más de detalle:
Un buen ejemplo para empezar sería fijarse, por ejemplo, en el conocido Números enteros gaussianos que se tratan en muchos libros elementales de teoría de números.
Si quisieras investigar algo de esto por ti mismo, podrías empezar por ver los posibles residuos que puedes obtener $\pmod{1+i}$ en el anillo de enteros gaussianos. Hay que tener un poco de cuidado, ya que, por ejemplo $(1+i)$ es un factor de $2$ en los enteros de Gauss, pero deberías ser capaz de descubrir cosas como: cada entero de Gauss es equivalente a 0 o 1 $\pmod{1+i}$ . (Pero también sería posible decir que todo entero gaussiano es equivalente a 0 o a $i$ .)
Puedes leer algo de esto en los primeros 3 o 4 capítulos del libro de Ireland y Rosen "A classical Introduction to Modern Number Theory" - un verdadero clásico, que puede ser duro, aunque los primeros capítulos son más accesibles.
