Todas las ordenaciones totales posibles de un conjunto finito son isomorfas. ¿Cuáles son otros ejemplos de este fenómeno?

Question

Todas las ordenaciones totales posibles de un conjunto finito son isomorfas. Este tipo de resultados me parecen extraordinarios. He aquí algunos más.

Supongamos que $S$ es un conjunto finito. Entonces:

1. Todas las estructuras de campo posibles en $S$ son isomorfas (y existe una estructura de campo en $S$ si la cardinalidad de $S$ es $p^n$ para algún primo $p$ y entero positivo $n$ .)
2. Todas las posibles estructuras de álgebra booleana en $S$ son isomorfas (y existe una estructura de álgebra booleana sobre $S$ si la cardinalidad de $S$ es $2^n$ para algún número natural $n$ .)
3. Todas las posibles estructuras de grupos cíclicos en $S$ son isomorfas.
4. Si la cardinalidad de $S$ es primo, entonces todas las formas posibles de hacer $S$ en un grupo dan grupos isomorfos.
5. Todas las formas posibles de hacer $S$ en un ciclo (en el sentido de la teoría de grafos) son isomorfas.

Pregunta. No necesariamente suponiendo que $S$ es un conjunto (por ejemplo, puede ser un grupo abeliano, o un anillo, o lo que sea) ¿cuáles son algunos otros ejemplos de este fenómeno?

Podemos precisar un poco más las cosas utilizando el lenguaje de las categorías.

Dado un functor $U : \mathbf{S} \leftarrow \mathbf{C}$ y un objeto $S$ de $\mathbf{S}$ define eso:

• $U^{-1}(S)$ es la subcategoría completa de $\mathbf{C}$ consistente precisamente en aquellos objetos cuya imagen bajo $U$ es $S$ .
• $U^{-1}(\mathrm{id}_S)$ es la subcategoría amplia de $U^{-1}(S)$ que consiste precisamente en aquellos morfismos de $U^{-1}(S)$ cuya imagen bajo $U$ es $\mathrm{id}_S$ .

Nos interesan resultados de la forma: la categoría $U^{-1}(\mathrm{id}_S)$ tiene múltiples objetos no isomórficos; no obstante, todos los objetos de $U^{-1}(S)$ son isomorfas.

Answer 1

Todos ordenan 3 cuadrados latinos en los símbolos $A$ , $B$ , $C$ (hay 12) son isotópicos (es decir, se puede pasar de uno a otro barajando filas y/o columnas y/o símbolos).

Answer 2

Para cada campo $F$ y todo entero no negativo $n$ todos $n$ -dimensional $F$ -son isomorfos.

Answer 3

Todas las extensiones trascendentales simples de un campo dado son isomorfas.

Answer 4

En cierto sentido, es una buena generalización de algunos de sus hechos:

Si $T$ es una teoría completa, y $M \models T$ , $|M|< \omega$ entonces si $N \models T$ tenemos que $M \cong N$ .

Ejemplo: Sea $L= \{<\}$ y que $M$ sea un orden total finito. Sea $N \models Th_L(M)$ . Demostramos que $M \cong N$ .

Recordemos que podemos decir que $M$ tiene exactamente $m$ elementos en FOL $\implies$ $N$ tiene exactamente $m$ elementos. Dado que $M$ es finito, $M$ tiene un primer elemento ( $(\exists x)(\forall y)( x \leq y))$ Llámalo $0_m$ $\implies$ N tiene un primer elemento, llámalo $0_n$ . Desde $M$ es finito, su ordenación es discreta (lo que puede escribirse en $FOL$ ) y sos cada elemento tiene un sucesor directo $\implies$ cada elemento de $N$ tiene un sucesor directo.

Ahora construye la función $f_0(0_m)= f_0(0_n)$ , $f_k(S^k(0_m))= f_k(S^k(0_m))$ y que $f = \bigcup_{i=1}^{m-1}f_i$ . Ahora sólo hay que comprobar que $f$ es un isomorfismo.