Intuitivo y convincente argumento de que las funciones son vectores

Question

De regreso a la escuela otra vez. Como estoy discutiendo todo el mathy cosas y los conocimientos adquiridos durante el verano, no puedo dejar de notar que muchos de mis compañeros en el segundo o tercer año de pregrado no puede cerrar la brecha entre los vectores y funciones.

Cuando les pregunto por qué, la respuesta más frecuente es la siguiente:

• Los vectores son algo aprendido en álgebra lineal, y que son básicamente punta de flechas en $R^2$ y por escrito entre corchetes $\{\}$ o, a veces, con flecha en la parte superior

• Las funciones son completamente diferentes, que son el objeto de estudio en el cálculo, nunca se dibuja como una flecha, no satisfacer algunos de los axiomas de espacio vectorial, puede ser dibujado en un montón de maneras (a trozos o continua, con loco oscilaciones).

• Usted puede hacer un montón de funciones, tales como tomar la derivada de ella, o la integral de la misma. Usted puede encontrar la inversa de una función.

• Ninguna autoridad ha dicho funciones son vectores, si ellos no me gustaría creer en ellos

• Sí, las funciones son a veces contenida en los soportes, pero eso es sólo una vector de funciones, no una función

Por favor alguien puede proporcionar un buen ejemplo puede cerrar esta brecha? También, hay libros que explícitamente puente de los dos conceptos?

Gracias por tus entradas!

Answer 1

Permítanme comenzar dando un unificado de punto de vista y, a continuación, voy a reconciliar las otras cosas que usted oído hablar con ella.

Un vector es un elemento de un espacio vectorial*.

Podemos considerar funciones como vectores usando esto?

Es un asunto menor para demostrar que un conjunto no vacío $X$ el conjunto de funciones de $\{f\mid f:X\to \Bbb R \}$ es un espacio vectorial bajo las operaciones de $(f+g)(x):=f(x)+g(x)$$(\lambda f)(x):=\lambda f(x)$. Por lo tanto, estas funciones calificar como vectores. (En realidad, $\Bbb R$ puede ser reemplazado por cualquier campo.)

¿Qué acerca de los vectores de ser "listas de números"?

El más relevante es el teorema de esto:

Todo espacio vectorial tiene una base $\{b_i\mid i\in I\}$ para un conjunto de índices $I$.

Esto nos da un corolario

Cada espacio vectorial $V$ sobre un campo $F$ es isomorfo a una suma directa de $\bigoplus_{i\in I} F$ para un conjunto de índices $I$.

¿Cuál es la conexión? El isomorfismo en el corolario es dado por la escritura de los cofficients para un elemento de $V$, y luego la asignación de ese elemento a la lista de coeficientes en $\bigoplus_{i\in I} F$. Lo que en este sentido, es cierto que cada $F$-espacio vectorial tiene el mismo aspecto como una lista de elementos de $F$.

¿Qué acerca de los vectores como "flechas"?

Esta es una interpretación geométrica de los vectores. Cuando se trabaja a través de los números reales (o cualquier ordenó campo para esa materia) y en dos o tres dimensiones, es muy útil pensar en los vectores de esta manera.

Pero esto no es realmente la esencia de lo que un vector es. Después de ir a dimensiones más altas aún, tal vez infinitamente muchos, la utilidad de la flecha se vuelve menos claro. Y también como se mueve a desordenada campos, decir $\Bbb C$ o incluso finito campos, no existe la noción de "sentido" a lo largo del vector, por lo que la utilidad disminuye. De manera que la dirección de la magnitud de la imagen de los vectores es un útil de imagen real de espacios vectoriales, pero no es tan exitosa general de los espacios vectoriales.

Ahora para que sus puntos de bala

1. "Los vectores [...] básicamente punta de flechas escrito entre corchetes o una flecha en la parte superior..." Que es la notación, sí, y creo que lo hemos aclarado este concepto :)
2. "nunca se dibuja como una flecha" Sí, porque el vector tiene muchas dimensiones de una flecha a ser muy útil a la imagen. "no satisface algunos de los axiomas de espacio vectorial" En general, esto es simplemente incorrecto. Muchos conjuntos de funciones satisfacen los axiomas de espacios vectoriales.
3. "Usted puede hacer [un montón de otras cosas] con las funciones de [que no se puede hacer con vectores]" Bien, no hay ninguna regla acerca de los vectores que no pueden ser otros que las cosas con más habilidades especiales! El conjunto de $n\times n$ de las matrices cuadradas son vectores en un espacio vectorial demasiado, pero al ser cuadrado no le impide ser un vector!
4. "Ninguna autoridad ha dicho funciones son vectores" Esto es simplemente mal informados. Todo el campo del análisis funcional se refiere a espacios vectoriales de funciones.
5. "Sí, las funciones son a veces contenida en los soportes, pero eso es sólo un vector de funciones, no una función de" Esto es un poco pegajosa pregunta porque las tuplas involucrados son diferentes (y no son diferentes.) Esta es otra buena razón para dejar de pensar de los vectores sólo como "tuplas de números". Usted puede tener tuplas de funciones, y sí, aún podría ser pensado como vectores en el espacio del producto $V\times V$.

$^\ast$ Precaución: los Físicos y los ingenieros de hablar de vectores y espacios vectoriales de manera diferente. La propuesta de duplicar explica esto: Cómo pensar de una función como un vector?

Answer 2

Hay otra forma de función podría verse como un vector. Para los cálculos prácticos, las funciones de trazado, etc. son a veces discretizar, suficientemente finas. Por ejemplo, $x\mapsto x^2$, $x\in[0,3]$ puede representarse como valores en los nodos 0,1,2,3 como un vector 4-dimensional $(0,1,4,9)^T$.

Answer 3

Sólo un alimento de pensamiento de sus compañeros, tener en cuenta es $f:\mathbf{R}^{n}\rightarrow\mathbf{R};f_{\vec{u}}(\vec{v})=\vec{u}\cdot\vec{v}$ utiliza un vector para crear una función que actúa como una simple combinación lineal de los elementos de $\vec{u}$. Esto es solo un caso especial de una transformación lineal, $f(\vec{u})=A\cdot\vec{u}$, donde en este caso es del $A$ $n\times 1$.