Un ejercicio sobre la propiedad de la intersección finita en el espacio de $T_1$

Question

Deje $X$ $T_1$ espacio. Deje $\mathfrak {D}$ ser una colección de subconjuntos de a $X$ que es maximal con respecto a la intersección finita de la propiedad. Muestran que hay más de un punto perteneciente a $\bigcap_{D \in \mathfrak{D}} \bar D$

Aquí está mi intento. Supongamos que hay dos puntos $x$, $y$ ambos pertenecientes a $\bigcap_{D \in \mathfrak{D}} \bar D$. Por $T_1$ axioma, no es un conjunto abierto $A$, de tal manera que $x \in A$, mientras que $y \notin A$. El maximality de $\mathfrak D$ implica que en cada barrio de $x$ $y$ pertenece a $\mathfrak D$, y así es $A$. Por lo tanto cada barrio de $y$ cruza con $A$, lo que muestra que $y\in \bar A$.

No sé cómo proceder.

EDIT:Este es un ejercicio de James Munkres' libro de texto de la Topología(2ed), página 235. Sin embargo, no puedo encontrar un problema en K. Caramba la respuesta. Tal vez algo está mal en este problema, o mi paráfrasis de la misma.

Answer 1

Esto no se sostiene en $T_1$. Deje $X$ ser un conjunto infinito dotado con el complemento finito de topología. Deje $\mathfrak A$ ser la colección de todos vacío abierto pone en $X$, es decir, $\mathfrak A$ es la colección de todos los conjuntos cuyo complemento es finito. Desde $X$ es infinita, en la intersección de cualquier finito colección de elementos de $\mathfrak A$ es no vacío; de hecho, es otro elemento de $\mathfrak A$. Por lo tanto, $\mathfrak A$ tiene el finito intersección de la propiedad. Existe una colección de $\mathfrak D$ de los subconjuntos de a $X$ tal que $\mathfrak D$ ha la intersección finita de la propiedad, es maximal con respecto a esta propiedad, y contiene $\mathfrak A$. Desde $\mathfrak D$ tiene la intersección finita de la propiedad y contiene $\mathfrak A$, cada elemento de a $D$ $\mathfrak D$ debe intersectar a cada elemento de a $\mathfrak A$, es decir, cada conjunto abierto no vacío en $X$. Por lo tanto, $\bar D =X$ todos los $D\in\mathfrak D$. De ello se desprende que $\bigcap_{D\in\mathfrak D}\bar D=X$.