¿Existe alguna secuencia de polinomios que converjan a $|x|$ uniformemente en $\mathbb{R}$

Question

¿Existe alguna secuencia de polinomios que converjan a $|x|$ uniformemente en $\mathbb{R}$ ? Intento demostrar que el espacio de todas las funciones polinómicas dotadas de sup-norma no es completo. Y sé que por aproximación de Weierstrass, toda función continua es límite uniforme de una sucesión de polinomios. Creo que mi problema ahora es encontrar una sucesión de Cauchy de funciones polinómicas que converja a $|x|$ .

Answer 1

Sugerencia Cualquier polinomio de grado $\geq 2$ crece asintóticamente más rápido que $|x|$ .

Answer 2

Sugerencia: Para $m$ , $n\ge n_1$ tenemos $|P_n- P_m| \le 1$ en $\mathbb{R}$ así que un polinomio constante. Así que a partir del índice $n_1$ sólo puede cambiar el término libre, por lo que el límite debe ser un polinomio.

Answer 3

Para $p(x)=\sum_{j=0}^{n}A_jx^j$ con $n>0$ y $A_n\ne 0$ tenemos, por $x\ne 0$ , $$p(x)=A_nx^n (1+\sum_{j=0}^{n-1}(A_j/A_n)/x^{n-j}).$$ Para todos los valores suficientemente grandes de $|x|$ tenemos $$|\sum_{j=0}^{n-1}(A_j/A_n)/x^{n-j})|<1/2 $$ $$\text {and }p(x)=A_nx^n (1+q(x)) \text { where } 1+q(x)>1/2.$$ De ello se deduce que si $p$ es CUALQUIER polinomio real, entonces $\{|(p(x)-|x|)| : x\in R\}$ no tiene límite superior. Así que no podemos aproximar uniformemente $|x|$ en todos $R$ por un polinomio.