Norma en un espacio dual

Question

Si un linear espacio normado $f \in X^*$ $X^*$, $X$ que consiste en el espacio dual de todo lineal limita funcionales. La norma definidas como $||f||_{X^{*}} = \sup_{||x|| \leqslant 1} |f(x)|$. ¿Por qué tiene $|f(x)| \leqslant ||f||_{X^{*}} ||x||_{X}$?

Answer 1

Supongamos que $x\in X$ $x\neq 0$. Entonces satisface a $y = x/\|x\|$ $\|y\| = 1$ y por lo tanto $|f(y)|\leq \|f\|$. $f(y) = f(x/\|x\|) = f(x)/\|x\|$, Que $|f(x)|/\|x\|\leq \|f\|$. Esto demuestra la desigualdad $|f(x)|\leq \|f\|\|x\|$ cuando $x\neq 0$. La desigualdad es trivial con $x = 0$.