¿Cómo justificar las manipulaciones de la notación de Einstein sin escribir explícitamente las sumas?

Question

Para calcular la expresión de las coordenadas de la horquilla de Lie de dos campos vectoriales, hay que "intercambiar los papeles de los índices ficticios $i$ y $j$ en el segundo término" (p.187, Lee Introducción a los colectores suaves ), es decir, justificar la siguiente igualdad: $$X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j} \frac{\partial f}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial f}{\partial x\ ^j} \overset{?}{=} X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} - Y^j\frac{\partial X^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i}. $$ Ahora, escribir las sumas explícitamente es bastante fácil de hacer: $$\sum_i\sum_j \left[X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} - Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial f}{\partial x^j} \right] = \sum_i\sum_j\left[X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} \right] - \sum_i\sum_j\left[ Y^i \frac{\partial X^j}{\partial x^i}\frac{\partial f}{\partial x^j} \right] \\ = \sum_i\sum_j\left[X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} \right] - \sum_j\sum_i \left[ Y^j \frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} \right] = \sum_i\sum_j\left[X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} \right] - \sum_i\sum_j \left[ Y^j \frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} \right] \\ = \sum_i\sum_j \left[X^j \frac{\partial Y^i}{\partial x\ ^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} - Y^j \frac{\partial X^i}{\partial x^j}\frac{\partial f}{\partial x^i} \right] .$$ Sin embargo, escribir todas estas sumas es bastante laborioso y anula el propósito de utilizar la notación de Einstein en primer lugar.

Pregunta: ¿Existe una lista en algún lugar de las manipulaciones permitidas utilizando la notación Einstein? Me gustaría utilizar dicha lista para justificar rigurosamente manipulaciones como la anterior utilizando la notación de Einstein en el futuro con la conciencia limpia.

Probablemente podría proporcionar las pruebas escribiendo las sumas explícitamente yo mismo, así que la lista de manipulaciones permitidas no necesita venir con pruebas para todas las reglas.

Note : Esto está relacionado con un pregunta anterior mía donde pregunté (esencialmente) si, y en caso afirmativo, cuáles y cuántas manipulaciones que utilizan la notación de Einstein requieren la finitud de los conjuntos de índices para estar justificadas. Obsérvese que el cálculo anterior es otro ejemplo en el que se apela implícitamente a la finitud de los conjuntos de índices para justificar el cambio de orden de la suma en el penúltimo paso (el antepenúltimo paso consiste simplemente en cambiar el nombre de las variables).

Answer 1

No está del todo claro lo que pregunta, pero permítame señalar que el cálculo que ha escrito es correcto incluso si se borran todos los $\Sigma$ s, por lo que podría haber escrito un cálculo mucho más corto para justificar esto. Lo que está en el fondo es esencialmente la ley de distributividad para los números reales, así como la asociatividad de la multiplicación. Por supuesto, también se puede aprovechar la conmutatividad de la multiplicación, pero no parece que se utilice en el cálculo concreto que has presentado.

Para convencerse de que $u^i_j v_i^j + w^j_i x^i_j = u^i_j v_i^j + w^i_j x_i^j$ es un procedimiento legítimo, primero cambia los nombres de las variables en el segundo sumando: $$ u^i_j v_i^j + w^j_i x^i_j = u^i_j v_i^j + w^p_q x_p^q. $$ Ahora bien, como ambos $p$ y $q$ son variables ficticias, pueden cambiarse respectivamente por $i$ y $j$ (en ese orden), por lo que obtenemos $$ u^i_j v_i^j + w^j_i x^i_j = u^i_j v_i^j + w^p_q x_p^q=u^i_j v_i^j + w^i_j x_i^j. $$ Cuando se utiliza la convención de suma de Einstein, el $\Sigma$ signos no llevan ninguna información adicional En particular, no se puede decir que se pueda demostrar algo con la $\Sigma$ s pero no sin ellos.

Answer 2

La misma regla que utilizó para transformar $i \leftrightarrow j$ en la segunda línea de la segunda ecuación también se aplica en la notación de Einstein

$$ u^i v_i = u^jv_j $$

es decir, puedes llamar a los índices ficticios como quieras, pero asegurándote de que sólo un índice superior sume con un índice inferior. Por ejemplo, puedes hacer esto

$$ x^i A_{ij} y^j = x^j A_{ji} y^i $$

pero tú no puede hacer esto

$$ x^i A_{ij} y^j = x^i A_{ii} y^i $$