Manera más fácil de resolver $\int\frac{2+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx$

Question

¿Allí es más fácil manera de supstitution universal para resolver esta integral $$\int\frac{2+\sin x}{\sin x(1+\cos x)}dx$ $?

Answer 1

El % integral $\int\frac{2}{\sin x(1+\cos x)}\,dx$puede encontrarse multiplicando arriba y abajo por $\sin x$. Después de reemplazar el $\sin^2 x$ en el denominador por el $1-\cos ^2 x$, hacemos la sustitución $1-\cos x=u$. Terminamos con una integración que puede hacerse con fracciones parciales.

Integral % restante $\int \frac{1}{1+\cos x}\,dx$, utilice el hecho de se $\int\frac{1}{2\cos^2(x/2)}\,dx$, así que queremos integrar $\frac{1}{2}\sec^2 (x/2)$, fácil.

Answer 2

En primer lugar observando que $\frac{1+\cos(x)}{2}=\cos^2(x/2)$ y entonces usando fracciones parciales,

$$\begin{align} &\int\frac{2+\sin(x)}{\sin(x)(1+\cos(x))}\mathrm{d}x\\ &=\int\frac{2\,\mathrm{d}x}{\sin(x)(1+\cos(x))}+\int\frac{\mathrm{d}x}{1+\cos(x)}\\ &=\int\frac{-2\,\mathrm{d}\cos(x)}{(1-\cos^2(x))(1+\cos(x))}+\int\sec^2(x/2)\,\mathrm{d}x/2\\ &=-2\int\left(\frac{1/4}{1-\cos(x)}+\frac{1/4}{1+\cos(x)}+\frac{1/2}{(1+\cos(x))^2}\right)\mathrm{d}\cos(x)+\tan(x/2)\\ &=\frac12\log\left(\frac{1-\cos(x)}{1+\cos(x)}\right)+\frac1{1+\cos(x)}+\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}+C\\ &=\log\left(\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)}\right)+\frac{1+\sin(x)}{1+\cos(x)}+C \end {Alinee el} $$

Descargo de responsabilidad: Finalmente después de haber leído la respuesta de André, veo que mi respuesta sigue de cerca su contorno. Así que considere esto una implementación de su programa.

Answer 3

Podemos reescribir el integral como $\displaystyle\int\frac{2}{\sin x(1+\cos x)} dx +\int \frac{1}{1+\cos x} dx$.

En la primera integral, multiplicar por $\sin x$ en la parte superior e inferior da $\displaystyle\int\frac {2\sin x}{(1-\cos^{2}x)(1+\cos x)} dx = \int\frac{-2}{(1+u)^2(1-u)} du$ después de sustitución $u=\cos x$,

y luego puede utilizarse fracciones parciales para obtener

$\displaystyle -\int\bigg(\frac{1/2}{1+u}+\frac{1}{(1+u)^2}+\frac{1/2}{1-u}\bigg) du=-\bigg(\frac{1}{2}\ln(1+u)-(1+u)^{-1}-\frac{1}{2}\ln(1-u)\bigg) du$

$\displaystyle=-\frac{1}{2}\ln(1+\cos x)+(1+\cos x)^{-1}+\frac{1}{2}\ln(1-\cos x)+C$

$\displaystyle =\ln\vert\csc x-\cot x\vert+(1+\cos x)^{-1}+C$.

En la segunda integral, multiplicar por $1-\cos x$ en la parte superior e inferior da

$\displaystyle\int\frac{1-\cos x}{\sin^{2}x} dx=\int(\csc^{2}x-\csc x\cot x)\; dx = -\cot x+\csc x+C$.

Answer 4

Bueno, primer paso que veo sería multiplicar numerador y denominador por $1-\cos x$.

$$\int\dfrac{(1-\cos x)(2+\sin x)dx}{\sin^3x}=\int2\csc^3x+\csc^2x-2\csc^2 x\cot x-\csc x\cot xdx$$

Los 3 últimos términos integran rápida y fácilmente y supongo que ya has visto cómo manejar $\int\csc^3xdx$.