¿Qué es $\zeta(n)$ $n$ tienden a $\infty$? ¿Qué tan rápido va al límite?

Question

¿Qué es $\zeta(n)$ $n\to\infty$? ¿Qué tan rápido va al límite?

Answer 1

Convergencia absoluta en la mitad derecha del plano-(estándar para todos los de la serie de Dirichlet, pero si usted no está seguro, usted puede comparar través de

$$\zeta(\sigma)<\zeta(2)\quad\forall \sigma >2$$

simplemente comparando término a término)

Luego de tomar el límite interior, dándole

$$\lim_{\sigma\to\infty}\zeta(\sigma)=\sum_{n=1}^\infty \left(\lim_{\sigma\to\infty}n^{-\sigma}\right)=1+0+0+\ldots$$

En particular

es fácil ver por el mismo convergencia absoluta que

$$\zeta(\sigma)-1={2^\sigma\over 2^\sigma}\sum_{n=2}^\infty n^{-\sigma}=2^{-\sigma}\sum_{n=2}^\infty\left({2\over n}\right)^\sigma\sim 2^{-\sigma}$$

la última asintótica viene de

$$\lim_{\sigma\to\infty}\sum_{n=2}^\infty\left({2\over n}\right)^\sigma =\sum_{n=2}^\infty \lim_{\sigma\to\infty}\left({2\over n}\right)^\sigma = 1+0+0+\ldots$$

desde el mismo argumento que ya hemos utilizado en la $\zeta(\sigma)\stackrel{\sigma\to\infty}{\longrightarrow}1$, donde tomamos el límite interior y el primer término es $1$, y la posterior de cada término va a $0$.