Cómo conseguir que un grupo de una semigroup

Question

Lo siento si mi pregunta es muy simple.

Es cada semigroup asociada a un grupo? Si no, ¿qué condiciones deben ser satisfechas para que un semigroup a tiene asociado un grupo? Si sí, ¿cómo puedo encontrar el grupo?

Pensé en la universal de los bienes. Deje $X$ ser un semigroup, definir $G$ a ser el grupo con un morfismos de semigroups $\tau: X \rightarrow G$, de tal forma que si $H$ es cualquier grupo que tiene un similar de morfismos $\phi: X \rightarrow H$, hay un grupo de homomorphism $\psi: G \rightarrow H$, de tal manera que $\phi = \psi \circ \tau$.

La singularidad se obtiene a partir de la universal de los bienes. Pero la existencia de las necesidades de la construcción. Cuando no hay ningún elemento $x$ $X$ tal que para cualquier $a \in X$, $xa = ax = a$, es decir, $X$ no contiene un elemento de identidad, defino $G = \{ 1 \} \cup \{ x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} | x_i \in X, k_i \in \{ \pm 1 \}, i = 1, \cdots, n; k_jk_{j+1} = -1, 1 \leq j <n \}$ con las relaciones de equivalencia: $x^{k}x^{-k} \equiv 1$, $x_1^{k_1} \cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_i^kx_i^{-k}x_{i+2}^{k_{i+2}} \cdots x_n^{k_n} \equiv x_1^{k_1} \cdots x_{i-1}^{k_{i-1}}x_{i+2}^{k_{i+2}} \cdots x_n^{k_n}$ y de operaciones del grupo

Multiplicación: $\begin{cases} 1 \cdot x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} = x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} \cdot 1 =x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}, \\ x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n} \cdot y_1^{l_1} \cdots y_m^{l_m}= \begin{cases} x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n}y_1^{l_1} \cdots y_m^{l_m} & \text{ if } k_nl_1=-1, \\ x_1^{k_1} \cdots (x_ny_1)^{l_1} \cdots y_m^{l_m}& \text{ if } k_nl_1=1; \end{casos} \end{casos}$

Inversa: $1^{-1} =1$, $(x_1^{k_1} \cdots x_n^{k_n})^{-1} = x_n^{-k_n} \cdots x_1^{-k_1}$.

Entonces, claramente, el de morfismos $\tau: X \rightarrow G$ puede ser definido para enviar cada uno de los $x \in X$$x \in G$.

Al lado de posibles fugas, esta construcción no es preciso, y no funciona en el caso de al $G$ ya tiene una identidad, o incluso un grupo.

Así, cuando se semigroups asociado con un grupo, y cómo puedo construir un grupo de una semigroup?

Gracias de antemano.

Answer 1

Lo que está describiendo es la izquierda adjunto de la olvidadizo functor de Grupo para Semigroup.

En el caso de monoids y monoid homomorphisms, un grupo que se llama la envolvente grupo de monoid. Usted puede encontrar la descripción de George Bergman la Invitación a Álgebra General y Universal de Construcciones, Capítulo 3, Sección 3.11, páginas 65 y 66.

Sin embargo, no siempre se obtiene incrustaciones.

Para semigroups, la cosa más natural es que lindan con un $1$, incluso si el semigroup ya tiene uno, y, a continuación, realizar la construcción. Si $S$ ya tenía una identidad, la construcción será, naturalmente, el colapso de la nueva, adosadas, de la identidad en el original, y darle "la mayoría de los generales del grupo en el que puede asignar el semigroup".

Añadido. De hecho, lo que la última construcción que está haciendo (por semigroups) es simplemente componiendo las dos a la derecha adjoints: el derecho medico adjunto de la olvidadizo functor de Monoid a Semigroup es el functor que colinda con una identidad (ya que incluso entre monoids generalmente hay más semigroup homomorphisms de monoid homomorphisms). Así que si nos fijamos en la composición de los desmemoriados functors Grupo $\longrightarrow$ Monoid $\longrightarrow$ Semigroup, obtenemos un derecho adjoint por componer el adjoints va para otro lado, Semigroup $\longrightarrow$ Monoid (lindan con un $1$), y Monoid $\longrightarrow$ Grupo (envolvente grupo). Así: en primer lugar lindan con un $1$, a continuación, construir la envolvente del grupo.

(Curiosamente, no es otra functor de monoids a los grupos, a saber, el functor que asigna a cada monoid su grupo de unidades, $M^*$. Este functor es el derecho medico adjunto de la olvidadizo functor: dado cualquier monoid $M$ y cualquier grupo de $G$, existe un natural de la correspondencia entre el$\mathbf{Monoid}(G,M)$$\mathbf{Group}(G,M^*)$).

Answer 2

Actualización: me fue inicialmente mal pensando que Grothendieck la construcción puede ser aplicado para cualquier semigroup. A continuación una versión corregida de mi post.

Si usted comienza a partir de un conmutativa monoid hay una forma sencilla de construir un grupo, llamado Grothendieck de la construcción. Ver http://en.wikipedia.org/wiki/Grothendieck_group. Por cierto, no siempre es cierto que la monoid incrusta en su grupo de Grothendieck, pero basta con que se verifica la cancelación de la propiedad: $a+b=a+c$ implica $b=c$.