Hay dos anillos implicados en su pregunta:
1) El anillo que has descrito, que en realidad debería ser denotado $\mathcal C^\infty_{M,x}$
2) El anillo $\mathcal C^\infty(M)_{\frak m}$ , descrito de la siguiente manera. Llamar a $\frak m$ el ideal en $\mathcal C^\infty(M)$ consistente en funciones globales cero en $x$ Es decir ${\frak m}=\lbrace f\in \mathcal C^\infty(M): f(x)=0\rbrace$ . Se trata de un ideal máximo en $\mathcal C^\infty(M)$ y puede localizar $\mathcal C^\infty(M)$ en este ideal para conseguir $\mathcal C^\infty(M)_{\frak m}$ . Los elementos de este anillo localizado son fracciones formales $f/g$ con $f,g\in C^\infty(M)$ y $g(x)\neq 0$ . Hay que tener en cuenta que estas fracciones formales no son, ni mucho menos, interpretables como funciones sobre $M$ , ya que $g$ podría muy bien desaparecer fuera, digamos, del intervalo $(x-1,x+1)$ ¡!
Existe un morfismo de anillo canónico $\mathcal C^\infty(M)_{\frak m} \to \mathcal C^\infty_{M,x}$ y el resultado extraño, tal vez subestimado, es que es un isomorfismo.
Para responder a su pregunta:
1) En la primera encarnación un elemento invertible es un germen $[(U,h)]$ con $h(x)\neq o$ y su inversa es $[(U',1/h)]$ , donde $U'\subset U$ es una vecindad de $x$ en el que $h$ no tiene cero.
2) En la segunda encarnación un elemento invertible de $\mathcal C^\infty(M)_{\frak m}$ es una fracción de la forma $f/g$ con $f(x)\neq 0$ (además de $g(x)\neq 0$ por supuesto), y su inversa es $g/f$ .
