¿Cuál es la diferencia entre $E[X\mid Y]$vs $E[X\mid Y=y]$ y algunas de las propiedades de $E[X \mid Y]$?

Question

Yo estaba tratando de comprender de forma intuitiva y con rigor cuál es la diferencia entre el $E[X\mid Y]$ vs $E[X\mid Y=y]$.

Déjame decirte primero las cosas que hacen sentido para mí. $E[X\mid Y=y]$ tiene sentido para mí (creo). Para mí, esto significa que el valor que esperamos $X$ a tener, en promedio, dado que el evento $Y=y$ fue observado y se ha determinista valor:

$$E[X\mid Y=y] = \sum_x{xp_{X\mid Y}(x\mid y)} = \mu_{X\mid Y=y}$$

que puede ser calculada como cualquier otra expectativa (donde la notación $\mu_{X\mid Y=y}$ denota la real número real que se $E[X\mid Y=y]$ toma). $E[X\mid Y=y]$ es una función de y. Dado $Y=y$, la esperanza condicional siempre va a ser $\mu_{X\mid Y=y}$, que se rige por lo específico y se observó.

Sin embargo, $E[X\mid Y]$ tiene menos sentido para mí. He leído algo similar a la siguiente:

Aviso ahora que Y es una variable aleatoria este tiempo. Por lo tanto, $E[X\mid Y]$ es una variable aleatoria.

Que tiene algo de sentido para mí, porque, si $Y$ es al azar, a continuación, el valor esperado de $X$ tiene que ser demasiado aleatorios. En otras palabras, $Y$ aleatorio, entonces, por consiguiente, $E[X\mid Y]$ es demasiado aleatorios. La declaración de $E[X|Y]$ es r.v. y es exactamente declaración me gustaría entender de forma más precisa. Me siento entiendo menos y me gustaría abordar.

Siento que si realmente entiende este concepto de lo $E[X\mid Y]$ significa en realidad, yo debería ser capaz de contestar las siguientes preguntas:

1) Si $E[X\mid Y]$ es aleatoria, entonces, ¿cuáles son los posibles valores que puede tomar? Sólo puede tomar los valores de $\mu_{X\mid Y=y}$$y \in Y$? Decir si $Y=\{1,2,3\}$$U_{X,Y} = \{\mu_{X\mid Y=1}= 11, \mu_{X\mid Y=2} = 22, \mu_{X\mid Y=3} = 33 \}$. Entonces, ¿hay alguna posibilidad de que $E[X\mid Y] = 123$?

2) Es la distribución de $E[X|Y]$$U_{X,Y}$$Y$?

3) ¿Cuál es la distribución de probabilidad de $E[X\mid Y]$ si tenemos toda la información que necesitamos acerca de la distribución de $p_X(x)$$p_Y(y)$? Es lo mismo que $p_Y(y)$? Hay un cerrado/fórmula específica para ello?

4) Cuando a uno se le pide encontrar la distribución de $E[X\mid Y]$ se le pidió que encontrara a $Pr[E[X\mid Y=y]]$ o $Pr[E[X\mid Y] = \mu]$? Hay una diferencia entre los dos? Es una tontería mientras que la otra es válido distribución de probabilidad?

5) Si tuviéramos que dibujar la función de densidad de probabilidad para $E[X \mid Y]$, sería el eje horizontal se $y$ o $\mu$ ? es decir, sería la densidad de probabilidad de ser una función de $y$ o de $E[X\mid Y] = \mu$? es decir, sería $p_{E[X\mid Y]}(k)$ ser una función de la $y=Y$ o $E[X\mid Y]$?

6) Relacionado con los dos anteriores se pregunta, a mí me parece que la escritura de una fórmula explícita para $E[X\mid Y=y]$ es fácil, mientras que para $E[X\mid Y]$ no es (o al menos para mí). Es la fórmula $E[X\mid Y] = \sum_x{xp_{X\mid Y}(x\mid Y)}$? Me imagino que es, pero para mí se trata de una muy extraña ecuación, porque estamos acondicionado en una variable aleatoria, o estamos diciendo determinado $Y$, pero $Y$ es aleatorio por lo que su realidad no se da. Por lo tanto, me parece que no puede encontrar una expresión para lo que tiene sentido para mí.

Básicamente, no es claro para mí lo $E[X\mid Y]$ significa, porque no sé cuál es su validez, los resultados son, cuál es su distribución es (en relación a $p_X(x), p_Y(y)$ o $p_{X,Y}(x,y)$ o cualquier cosa), ni puedo escribir una fórmula explícita para lo que tiene sentido para mí. Ni siquiera puedo decidir si $p_{E[X \mid Y]}(k)$ es una función de y o $\mu=E[X|Y]$.

Answer 1

Si $\varphi(y)=E[X\mid Y=y\,]$ es la función no-al azar de $y$, $E[X\mid Y\,]$ se define para ser la variable aleatoria $\varphi(Y)$.

Answer 2

Si $Z=E[X\mid Y]$ una variable aleatoria, entonces eso significa que $F_{Z}(z)=P(Z\leq z)=P(Y\in\{y\in\mathbb{R}:E[X\mid Y=y]\leq z\})$.

Si quieres pensar intuitivamente, es muy simple: elegir un valor aleatorio para $Z$, primero elija $Y$ al azar de acuerdo a la probabilidad de $Y$, se puede obtener $Y=y$. A continuación, el valor de $Z$ toma es $E[X\mid Y=y]$.

De hecho, esto es sólo un caso especial de la construcción en general: si $f$ es un verdadero Borel medible de la función, a continuación, $Z=f(Y)$ se define como una variable aleatoria tal que $F_{Z}(z)=P(Z\leq z)=P(Y\in f^{-1}(-\infty,z])$. Aquí $E[X\mid Y=y]$ es una función real que tome $y$ y regresar $E[X\mid Y=y]$.

La razón por la idea intuitiva a ser un poco complicado es debido a la posibilidad de la función no es inyectiva. Por ejemplo, supongamos $X$ $Y$ es independiente. A continuación, $Z$ sería un valor que tomar el valor de $E[X]$ con una probabilidad de $1$, independientemente de lo $Y$ se distribuyen: esto es debido a que $E[X\mid Y=y]$ es una función constante.

Answer 3

Te han dado buenas respuestas a tu pregunta principal, así que creo que algunos técnica comentarios también pueden ser de algún valor para usted. Digamos que el modelo de algunos fenómenos aleatorios en un espacio de probabilidad $(\Omega,\mathscr F,\mathsf P)$ y tiene variables aleatorias $X:(\Omega,\mathscr F) \to (A,\mathscr A)$$Y:(\Omega,\mathscr F)\to (B,\mathscr B)$. A continuación, $\xi = \mathsf E[X|Y]$ es también una variable aleatoria, que es un mapa de $\xi:(\Omega,Y^{-1}(\mathscr B)) \to (A,\mathscr A)$ mientras que $\eta(y) = \mathsf E[X|Y =y]$ es un mapeo $\eta:(B,\mathscr B) \to (A,\mathscr A)$.

Usted puede pensar de $\xi = \eta(Y)$, lo que en realidad $\eta$ puede contener más información. Es decir, que $Y$ nos dicen si el tren llega en la mañana,$B = \{m,e\}$, y $X$ ser el retraso del tren. Puede especificar $\eta$ como una demora, dado el período de llegada, por ejemplo, $\eta(m) = 5$ $\eta(e) = 2$ como en la mañana la situación en el transporte por carretera es más incierto. Ahora, si usted tiene un azar período de llegada a$Y$, que es casi seguramente a la noche, entonces mediante el cálculo de $\xi$ se observa que el $\mathsf E[X|e] = 2$, pero vas a tener ni idea de lo $\mathsf E[X|m]$ será.

También es cierto que $\xi$ no siempre existe, mientras que para la existencia de $\eta$ usted puede necesitar hacer algunos supuestos sobre los $A$, que son, sin embargo, satisfecho en el caso de $A = \Bbb R$ usted está interesado en.