$u_{xx}$ $u_{yy}$ % continua $\Rightarrow u$es continua

Question

He encontrado una pregunta emocionante en un scriptum:

Que $U\subset\mathbb{R}^2$abierto y convexo, $u:U\to\mathbb{R}$. Suponer la existencia de la derivadas parciales continuas $u_{yy}$y $u_{xx}$ satisfacción $u_{yy}=u_{xx}$. Tenga en cuenta que la existencia de las derivadas parciales mixtas no se asume explícitamente.

¿Puedo concluir que la función $u$ es continua? ¿De lo contrario debo necesita más suposiciones?

Answer 1

Sí, esto funciona debido a que se está resolviendo un 1D ecuación de onda que tiene la propiedad de que el buen comportamiento a lo largo de una línea que se propaga a través de todo el espacio.

Más explícitamente, vamos a $f(x)=u(x,0)$, $g(x)=u_y(x,0)$. Entonces $f\in C^2(\mathbb R)$, $g\in C^1(\mathbb R)$ por supuesto. Tenemos que $$ 2u(x,y)= f(x-y)-G(x-y) + f(x+y)+G(x+y) , $$ con $G'=g$. Para confirmar esto, podemos arreglar $x$ y, a continuación, compruebe que $u$ como una función de la $y$ tiene el correcto de la segunda derivada y el derecho inicial de los valores de $u(x,0)=f(x)$, $u_y(x,0)=g(x)$.

Llegamos a la conclusión de que en el hecho de $u\in C^2(\mathbb R^2)$; en particular, $u$ es continua.

Answer 2

Fijar $(x_0,y_0)\in U$. Suficientemente pequeño $\varepsilon$ tenemos $ u(x_0+\varepsilon,y_0) + const = \int_{x_0}^{x_0+\varepsilon}\int_{x_0}^{t} u_ {xx}(s,y_0) \ ds\, despegue. $ Desde bastante pequeño retangle alrededor de $|u_{xx}|$ la convergencia dominada de Lebesgue se aplica y cuando limita $(x_0,y_0)$ $\varepsilon\to 0$ tenemos que $\lim_{\varepsilon\to 0}u(x_0+\varepsilon,y_0)=u(x_0,y_0)$. Del mismo modo se puede demostrar la continuidad en la segunda variable, así $u$ tiene que ser continua en ambas variables.