Espacio de Fréchet Urysohn

Question

Sabemos que si $p$ es el límite de una $(x_{n_{k}})$ del subsequence de la secuencia $(x_n)$ $X$ $p$ es un punto del racimo de la secuencia. Para espacios secuenciales lo hace no para que un punto del racimo de una secuencia es el límite de un subsequence de la misma.

¿Si tenemos una secuencia $(x_n)$ en un espacio de Fréchet Urysohn con un clúster punto p, esto nos dará un subsequence convergente a p? ¿Cómo?

Answer 1

Sí, lo hará. Por definición, un Fréchet-Urysohn espacio es uno en el que la secuencia de cierre de un conjunto es igual a la de cierre de la serie. Supongamos que $X$ es Fréchet-Urysohn, $\sigma=\langle x_n:n\in\omega\rangle$ es una secuencia en $X$, e $p$ es un clúster punto de $\sigma$.

Deje $\mathscr{B}_p$ el conjunto de abrir nbhds de $p$, y vamos a $C_p=\bigcap\mathscr{B}_p$; $C_p=\{p\}$ si $X$$T_1$, pero si $X$ no $T_1$,$C_p\supsetneqq\{p\}$. Deje $M=\{n\in\omega:x_n\in C_p\}$. Si $M$ es infinito, $\langle x_n:n\in M\rangle$ es una larga de $\sigma$ convergentes a $p$, por lo que podemos suponer que la $M$ es finito. Deje $m=1+\max M$, y deje $\sigma'=\langle x_n:n\ge m\rangle$. Deje $U$ ser abierto nbhd de $p$, y vamos a $\ell\in\omega$; $p$ es un clúster punto de $\sigma$, por lo que hay un $n\ge\max\{m,\ell\}$ tal que $x_n\in U$, lo $p$ es un clúster punto de $\sigma'$, y para todos los $n\ge m$ tenemos $x_n\notin C_p$. Por lo tanto, bien podemos reemplazar $\sigma$ $\sigma'$ si es necesario, y asume que el $x_n\notin C_p$ todos los $n\in\omega$.

Vamos $A=\{x_n:n\in\omega\}$. $A\cap C_p=\varnothing$, por lo $p\notin A$. Por otro lado, el hecho de que $p$ es un clúster punto de la secuencia $\sigma$ implica que el $p$ es un punto límite (o acumulación de punto) de un conjunto $A$ y, por tanto, que $p\in\operatorname{cl}A$. $X$ es Fréchet-Urysohn, por lo $\operatorname{cl}A$ es la secuencia de cierre de $A$; esto significa que hay una secuencia $\langle a_k:k\in\omega\rangle$ $A$ que converge a $p$. Para cada una de las $k\in\omega$ hay un $n_k\in\omega$ tal que $a_k=x_{n_k}$, y la secuencia de $\langle x_{n_k}:k\in\omega\rangle$ converge a $p$.

Esto es casi lo que quieras, pero no del todo: $\langle x_{n_k}:k\in\omega\rangle$ podría no ser una larga de $\sigma$, debido a que la secuencia de $\langle n_k:k\in\omega\rangle$ no puede estar aumentando. Yo voy a dejar a usted para mostrar que $\langle n_k:k\in\omega\rangle$ tiene una estrictamente creciente larga; usted necesitará utilizar el hecho de que para cada una de las $k\in\omega$ hay un abrir nbhd de $p$ que no contenga $x_{n_k}$.

Nota: Si asumimos que el$X$$T_1$, el argumento se puede simplificar un poco; haciendo de $\sigma$ evitar el set $C_p$ es cuidar de la posibilidad de que $X$ no $T_1$. Es necesario buscar en el conjunto de $A$ debido a que la definición de Fréchet-Urysohn espacios impone una condición en el cierre de los conjuntos: yo uso el hecho de que $p$ es en el cierre de la set $A$ a la conclusión de que la $p$ es en la secuencia de cierre de $A$ y, por tanto, que algunos de secuencia en $A$ converge a $p$. Para completar la prueba uno debe entonces demostrar que esta secuencia tiene una larga que es, también, una larga original de la $\sigma$; que el poco que me queda para usted.