Un "diagrama de flujo" para la manipulación de ecuaciones diofánticas

Question

No hay ningún algoritmo que decide correctamente si una ecuación Diophantine o no tener una solución. Sin embargo, muchos de ecuaciones puede ser correctamente analizado, y me pregunto si alguien escribió un "libro de recetas" para tratar con Diophantine ecuaciones de varias formas y formas, incluyendo la de mayor grado, de mayor dimensionalidad.

Dado un sistema de ecuaciones polinómicas con coeficientes enteros, es posible que desee para determinar si hay soluciones en enteros, y si es así, si hay finitely o infinitamente muchos, y si pueden ser descritos explícitamente; también podemos desear para determinar si hay alguna solución en los números racionales, y si es así, si hay un número finito, etc.

• Si el sistema es lineal, hacer esto (fácil).
• Si sólo hay una variable, a hacer que (fácil).
• Si hay una ecuación cuadrática en dos variables (o un homogénea uno de tres variables), hay de nuevo una explícita procedimiento: comprobar si hay una singularidad, determinar si existen enteros soluciones a todos (Hasse de Minkowski), parametrizar la curva, etc. Creo que todas las preguntas pueden ser eficazmente atendidas en el caso de género 0 curvas.
• Si es una curva elíptica, siga estos pasos... (no creo que todas las preguntas pueden ser de algoritmos respondió, en la actualidad).
• Mayor género de la curva? ¿Qué puede hacer? Encontrar el Jacobiano? ¿Y qué más?
• Más dimensiones de las superficies y variedades? ¿Qué puede hacer? Que la heurística intenta, ¿qué son útiles las familias de ecuaciones que pueden ser atacados?

Todas las piezas están bien cubiertos en la literatura - me pregunto si no hay un buen recurso que sucintamente se describe las diversas alternativas que nos pueden ser capaces de manejar.

Nota: esta pregunta mayores tiene objetivos similares, pero no llega a dar detalles sobre cómo manejar género 0 y género 1 y nada dice mucho más acerca de los géneros y de las dimensiones superiores variedades.

Answer 1

Hay un montón de referencias que describen "las diversas posibilidades", y es difícil de por donde empezar. Una de las primeras referencias que uno encuentra es el artículo Abierta Diophantine Problemas por Michel Waldschmidt. Se da una encuesta acerca de los problemas, métodos, técnicas heurísticas, etc. El siguiente "diagrama de flujo" es tomado de la literatura (no está completa):

1.) Definición de una "Ecuación de Diophantine" por una ecuación algebraica de la de $F(x_1,\ldots ,x_n)=0$ donde $F$ es un polinomio dado en el ring $\mathbb{Z}[x_1,\ldots ,x_n]$, y la ecuación puede resolverse ya sea en números enteros o números racionales (cual de los dos es más interesante depende del problema particular).

2.) Preguntas acerca de solvencia:
un.) ¿Hay alguna solución (integral o racional)?
b.) Hay un número finito o infinitamente muchas soluciones ?
c.) Que estructura el conjunto de todas las soluciones ?
d.) Hay un algoritmo de dar, en principio, una lista completa de todas las soluciones ?

3.) Métodos: Existen casi tantos métodos como Diophantine ecuaciones; algebriac, analítica, geometría, aritmética métodos, etc.
un.) El método modular: Aplicaciones de las ideas de Shimura, Frey, Ribet, Engaños, etc. que conduce a la prueba de la FLT, es decir, las formas modulares, curvas elípticas, representaciones de Galois absoluto del grupo de Galois $$ \rho\colon Gal(\overline{\mathbb{Q}}/\mathbb{Q})\rightarrow GL_d(\mathbb{F}) $$ y así sucesivamente.
b.) Cohomological obstrucciones: Un viejo (y simple) método para demostrar que un Diophantine ecuación no tiene solución, es demostrar que no existe una obstrucción local, es decir, un Brauer-Manin obstrucción; el estudio de Brauer grupos de ciertas variedades más global de los campos.
c.) Mordell-Weil tamiz métodos: En particular, para las curvas de $C:f(x,y)=0$ uno puede usar el conocimiento en la Mordell-Weil grupo de los Jacobi variedad de una curva con locales de informaciones, por ejemplo, mediante la reducción del modulo de un primer $p$, para muchos de los números primos $p$. Esto da a menudo fuertes resultados relativos a puntos racionales de la curva, que puede ser utilizado de forma algorítmica.
4.) Un ejemplo tal vez es agradable ver a una "fácil" ejemplo. Vamos $$ f(x,y)=y^2-x^3-7823 $$ Entonces la ecuación de Diophantine $f(x,y)=0$ no tiene ningún entero soluciones; todas las soluciones racionales son generados por una sola solución fundamental, a saber, por $(x,y)$ con $$ x=\frac{2263582143321421502100209233517777}{11981673410095561^2},\; $$

$$ y=\frac{186398152584623305624837551485596770028144776655756}{11981673410095561^3}. $$ El Mordell-Weil grupo de más de $\mathbb{Q}$ es cíclico de la fila $1$.