Revisemos primero nuestras nociones topológicas para asegurarnos de que no hay ninguna confusión.
Un espacio topológico es un conjunto $X$ junto con una colección $U$ de subconjuntos de $X$ , llamada topología en $X$ para que se cumpla lo siguiente,
- El conjunto vacío $\varnothing$ y el conjunto $X$ están abiertos.
- $U$ es cerrado bajo una unión arbitraria: $$\text{If } U_{1},...,U_{k} \text{ are open, then } \bigcup_{i =1}^k U_{i} \text{ is open.}$$
- $U$ es cerrado bajo intersecciones finitas: $$\text{If } U_{1},...,U_{k} \text{ are open, then } \bigcap_{i=1}^k U_{i} \text{ is open.}$$
Podemos definir mapas entre espacios topológicos $X$ y $Y$ donde, Un mapa $f: X \rightarrow Y$ es continua si $f^{-1}(U)$ es abierto para todo conjunto abierto $U \subset Y$ . Un mapa continuo que tiene un inverso continuo es un homeomorfismo y si existe un homeomorfismo entre $X$ y $Y$ entonces $X$ y $Y$ se consideran topológicamente equivalentes.
En general, se puede pensar en un colector topológico como un espacio que localmente se parece a $\mathbb{R}^n$ dotado de una métrica mediante la cual se puede realizar el cálculo. Más concretamente, un espacio topológico $\mathcal{M}$ es localmente euclidiano de dimensión $n$ si y sólo si cada punto de $\mathcal{M}$ tiene una vecindad que es homeomorfa a un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ . Tenemos entonces nuestra definición inicial de una variedad topológica como sigue,
Un espacio topológico $\mathcal{M}$ se denomina topológico $n$ -manifiesto cuando, $\mathcal{M}$ es localmente euclidiano de dimensión $n$ es decir, para cada $p \in \mathcal{M}$ existe,
- Un conjunto abierto $U \subset \mathcal{M}$ con $p \in U$ ,
- Un conjunto abierto $\widetilde{U} \subset \mathbb{R}^d$ tal que $\varphi : U \rightarrow \widetilde{U}$ es un homeomorfismo.
Además, $\mathcal{M}$ es un espacio de Hausdorff: Para cada dos puntos distintos $p,q \in \mathcal{M}$ hay subconjuntos abiertos disjuntos $U,V \subset \mathcal{M}$ tal que $p \in U$ y $q \in V$ . Una propiedad adicional que $\mathcal{M}$ es segundo contable (hay una base contable para la topología de $\mathcal{M}$ ) ofrece una definición más general
Ejemplos de colectores topológicos, son $\mathbb{R}^n$ la esfera unitaria $\mathbb{S}^n$ , gráficas de funciones continuas $f: U \rightarrow \mathbb{R}^d=n$ y el plano proyectivo real $\mathbb{RP}^n$ .
En general, la razón para definir una topología $n$ -manifold con las características adicionales a las localmente euclidianas es para evitar ciertos ejemplos patológicos que no queremos que cuenten como una manifold. Por ejemplo, para explicar por qué queremos que un espacio sea Hausdorff, presentaré la mejor ilustración que he encontrado hasta ahora: queremos que todos los puntos sean, en cierto sentido, separables. Consideremos la recta real $\mathbb{R}$ pegado a otra línea real $\mathbb{R}'$ a lo largo de los conjuntos abiertos $(-\infty,0) \cup (0,\infty)$ lejos del origen. Entonces no podemos incrustar este espacio en el espacio euclidiano porque hay múltiples formas de rellenar una discontinuidad de salto de una función, y los conjuntos compactos no son necesariamente cerrados.
Para que un espacio sea contable en segundo lugar tenemos que evitar los conjuntos bien ordenados incontables cuya existencia está garantizada por el lema de Zorn. En primer lugar, recordemos que si $(X,<)$ es un orden parcial, entonces $C \subseteq X$ es una cadena en $X$ si $C$ se ordena linealmente por $<$ .
Es decir, el Lemma de Zorn afirma,
Si $(X,<)$ es un orden parcial tal que para cada cadena $C \subseteq X$ hay $x \in X$ tal que $c \leq x$ para todos $c \in C$ , entonces hay $y \in X$ de tal manera que el no es $z \in X$ con $z > x$ . En otras palabras, si cada cadena tiene un límite superior, entonces hay un elemento máximo de $X$ .
A partir de esto podemos dar una prueba del principio de buen ordenamiento que afirma que siempre hay un buen ordenamiento de $A$ (para cualquier cosa no vacía $C \subseteq A$ Hay un $a \in C$ tal que $a \leq b$ para todos $b \in C$ ). Ahora bien, la razón por la que necesitamos que nuestra variedad sea contable, es que el lema de Zorn garantiza la existencia de un conjunto bien ordenado incontable. Así que, dada la topología de orden, podemos tomar intervalos semiabiertos indexados por nuestro conjunto bien ordenado incontable y tener que el espacio no puede ser incrustado en $\mathbb{R}^n$ y que no hay ningún subconjunto denso contable (no separable). Por lo tanto, exigimos que nuestro espacio sea contable en segundo lugar porque queremos evitar esos ejemplos patológicos que tienen que ver con ordenaciones incontables extrañas que pierden la separabilidad analítica.
Voy a dejar de divagar ahora, pero espero que esto sea útil; la idea general que me llevaría es que hay buenas razones para definir un $n$ -El manificio de la forma en que se define comúnmente porque hay ciertos "contraejemplos" o ejemplos patológicos que no tienen las propiedades agradables. Si vamos a clasificar una colección tan vasta de espacios, como "todas las variedades topológicas de cualquier dimensión", ciertamente lo que el poder de la generalidad para no tener que lidiar con los ejemplos patológicos que hacen que los teoremas generales no se sostengan debido a algún ordenamiento incontable bizarro o similar.
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Ciertamente, no todos los matemáticos exigen que sus variedades satisfagan (a) y (c), pero, por otro lado, la mayoría de las variedades que vas a escribir tendrán estas propiedades. En cualquier caso, uno quiere hacer cálculo en los colectores, y para mí es algo difícil imaginar hacer cálculo en un espacio que no sea de Hausdorff. Probablemente hay algunos lemas técnicos comunes que son útiles en el estudio de las variedades que se basan en esta condición (particiones de la unidad, etc.); intentaré enumerar algunos más adelante.
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Los manifiestos son como la pornografía, difíciles de definir, pero los reconoces cuando los ves.