Grupo con subgrupo característico dado

Question

Si $N$ y $H$ son grupos finitos, entonces existen grupos $G$ s.t $N$ es normal en $G$ y $G/N\cong H$ (Ej. $N\times H, N\rtimes H$ etc.)

¿Existe un grupo $G$ s.t. $N$ es subgrupo característico de $G$ y $G/N\cong H$ ?

Answer 1

Intenta tomar $N = H =$ grupo simple finito no abeliano. Parece bastante improbable que $G$ podría ser otra cosa que $N \times N$ y en ese caso $N$ no es característica ya que existe un automorfismo que intercambia las dos copias de $N$ .

Answer 2

Aquí hay una prueba para un buen caso de la respuesta de Ted:

Supongamos que G es un grupo con un subgrupo normal N de forma que G / N y N son grupos simples de orden 60. Sea C sea el centralizador de N en G . Entonces G / C se incrusta en Aut( N ), un grupo de orden 120. CN \= C × N desde C ∩ N \=1 y C y N centralizarse mutuamente. En particular, C ≅ CN / N ≤ G / N se incrusta como subgrupo normal en el grupo simple de orden 60, por lo que tiene orden 60 ó 1. Por lo tanto G / C tiene orden 60 u orden al menos 60⋅60 > 120 = |Aut( N )|, una contradicción. Por lo tanto C es un grupo simple de orden 60, y G \= CN \= C × N es un producto directo de grupos simples isomorfos y por tanto N no es característico en G .

Creo que lo mismo vale para cualquier grupo simple no abeliano N ≅ G / N pero he olvidado cómo probar G \= CN en general sin utilizar un poco de maquinaria. Si G no es un producto directo de grupos simples no abelianos, entonces Fit * ( G ) = N y el teorema de Bender muestra C \= 1, una contradicción.