Aplicaciones analíticas de la compactación Stone-Cech

Question

Siguiendo a Bredon Topología y geometría dejamos que $\mathcal{F}$ sea el conjunto de todos los mapas continuos $f:X \to [0,1]$ en un espacio completamente regular $X$ , defina $X \xrightarrow{\Phi} [0,1]^{\mathcal{F}}$ al establecer $\Phi(x)(f)=f(x)$ para cada $x \in X$ y $f \in \mathcal{F}$ y declarar el cierre $\beta(X)$ de $\Phi(X)$ en $[0,1]^{\mathcal{F}}$ para ser el Compactación de la piedra-Cech de $X$ . Munkres escribe en Topología que hay "una serie de aplicaciones [de la compactación Stone-Cech] en el análisis moderno", que supuestamente "está fuera del alcance de [el] libro". He consultado algunas fuentes, entre ellas La compactación Stone-Cech por Russell Walker, y no encontró ninguna aplicación del teorema que sea abiertamente analítica. Tal vez no tenga la suficiente formación en análisis funcional (supongo que aquí estarían las aplicaciones analíticas prototípicas) para reconocer las aplicaciones analíticas funcionales que he encontrado, pero la cuestión es que todavía no he encontrado ninguna aplicación analítica. véase tal ejemplo. Así que:

¿Cuáles son las aplicaciones prototípicas de la compactación Stone-Cech en el análisis matemático y dónde puedo leer sobre ellas?

Answer 1

No estoy seguro de que esto es lo que Munkres está hablando, pero aquí hay algo que él podría de la que se habla. Deje que $X$ sea un espacio completamente regular y que $C_b(X)$ sea el anillo de funciones continuas acotadas $X \to \mathbb{R}$ . Esto es una conmutación Álgebra de Banach cuando está equipado con la norma sup, y de hecho es un $C^{\ast}$ -Álgebra cuando está equipado con la involución trivial.

Entonces el Espectro Gelfand de $C_b(X)$ es canónicamente isomorfo a $\beta X$ ; de forma equivalente, $C_b(X)$ es canónicamente isomorfo a $C(\beta X)$ . Una aplicación en este caso es que por el Teorema de la representación de Riesz , funciones lineales positivas en $C_b(X)$ puede identificarse con medidas regulares de Borel en $\beta X$ . Un caso especial de esta construcción se describe en la Wikipedia artículo .

Answer 2

La compactación Stone-Cech se menciona con frecuencia en el libro de Carothers: Curso breve sobre la teoría de los espacios de Banach Así que esta puede ser una buena opción para buscar este tipo de aplicaciones.

Una de las aplicaciones es la demostración de Garling del teorema de representación de Riesz para $C(K)$ , $K$ ser compacto. La prueba se hace primero para la compactación Stone-Cech de espacios discretos y luego se extiende a espacios Hausdorff compactos arbitrarios.

Puede consultar el capítulo 16 del libro de Carother, o algunos de los siguientes documentos:

• D. J. H. Garling: Una prueba "corta" del teorema de la representación de Riesz Actas Matemáticas de la Sociedad Filosófica de Cambridge, 1973 - Volumen 73, Número 03, pp 459-460
• D. J. H. Garling: Otra prueba "corta" del teorema de la representación de Riesz , Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society, 1986, Volume 99 / Issue 02, pp 261 - 262
• Donald G. Hartig: El teorema de la representación de Riesz revisado The American Mathematical Monthly, Vol. 90, No. 4 (Abr., 1983), pp. 277-280
• Uno de estos documentos menciona que esta prueba también se puede encontrar en el libro R. B. Holmes: Análisis funcional geométrico y sus aplicaciones .

Hago de este post una wiki comunitaria, para que si alguien está más familiarizado con la prueba, pueda añadir más detalles. (Sólo sé que esa prueba existe y más o menos entiendo cuáles son las ideas básicas que la sustentan).