$2 \otimes_{R} 2 + x \otimes_{R} x$ no es un simple tensor en $I \otimes_R I$

Question

Esta pregunta está relacionada con las Propiedades del elemento $2 \otimes_{R} x - x \otimes_{R} 2$.

Otro ejercicio de Dummit-Foote es mostrar que

Deje $I = (2, x)$ ser el ideal generado por a $2$ $x$ en el ring $R = \mathbb{Z}[x]$ . Muestran que el elemento $2 \otimes_R 2 + x \otimes_R x$ $I \otimes_R I$ no es un simple tensor, es decir, no puede ser escrito como $a \otimes_R b$ algunos $a, b \in I $.

Sé cómo demostrar que un tensor no es simple en el tensor de productos como $M \otimes_R N$ donde $M$ $N$ son gratuitas $R$-módulos, pero aquí no podemos usar este hecho; así que, ¿cómo hacerlo ?

Answer 1

El mapa bilineal $\varphi:I\times I\to R$ de $\varphi(u,v)=uv$ da lugar a un homomorfismo h $I\otimes I\to R$. Si $2\otimes 2+X\otimes X=u\otimes v$ $u,v\in I$, entonces el $X^2+4=uv$. Son monic del grado uno, es decir, % que $u,v$ $u(X)=X+2a$y $v(X)=X+2b$. De $a+b=0$ y $ab=1$ obtenemos una contradicción. Si $\deg u=0$, entonces el $u=\pm1$ que no se encuentra en $I$.