Encontrar la integral de Riemann de la función siguiente.

Question

Definir $f$ $[0,1]$ $$f(x)=\begin{cases}x^2 ~~\text{if $x$ is rational}\\ x^3 ~~\text{if $x$ is irrational}\end{cases}$$

1. $f$ no es Riemann integrable en $[0,1]$
2. $f$ es Riemann integrable y $\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{4}$
3. $f$ es Riemann integrable y $\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}$
4. $\frac{1}{4}=\underline\int_{0}^{1}f(x)dx< \overline\int_{0}^{1}f(x)dx=\frac{1}{3}.$

No he resuelto este tipo de problemas antes de Riemann de integración. Así que no tengo idea de cómo se enfoque. Algunos pensamientos que vinieron a mi mente son como - si de alguna manera puedo demostrar que la función no es continua, a continuación, la opción 1 es verdadera. Para comprobar la parte superior de la suma y la suma menor, tengo la partición del intervalo y calcular. Pero estoy confundido acerca de, si los intervalos de final con puntos racionales, entonces, ¿cómo tomar el cuidado de la parte irracional de la función? Por favor, cualquier tipo de ayuda en la solución y comprensión de este problema será de gran ayuda. Gracias

Answer 1

La opción $1$ $4$ son correctos

SUGERENCIA:

Si la partición del intervalo $[0,1]$ en distintos intervalos, por muy pequeña que sea, hay siempre un número irracional y un número racional en su interior,

Así que en cada intervalo de la partición de la máxima se obtiene a partir de los racionales como $x^3<x^2$ en el intervalo de $(0,1)$, por lo que la integral inferior es la integración de $x^3$ $0$ $1$y la parte superior de la integral es básicamente la integración de $x^2$ $0$ $1$que son diferentes, de ahí que también no es Riemann integrable.

Answer 2

Nota para los principiantes que $y^3<y^2$, excepto en los extremos. La menor suma de Riemann para una partición, como se encuentra en el Bebé Rudin 6.1, será la suma de un montón de infimums de $f$ durante los intervalos de la partición, cada infimum multiplicado por la longitud del intervalo. Ya que cada intervalo de $(x_1,x_2)$ de distinto de cero de longitud contiene una gran cantidad de irrationals, que infimum se $x_1^3$. El superior de la suma de Riemann para una partición es la suma de un montón de suprema de $f$ durante los intervalos de la partición, cada uno multiplicado por la longitud del intervalo. Porque ese mismo intervalo de cero la longitud de la $(x_1,x_2)$ contiene un conjunto de racionales, el supremum se $x_2^2$. Ahora, la menor suma de Riemann es la misma que la parte inferior de Riemann suma de $x\mapsto x^3$, y la parte superior de Riemann de la suma es la misma como la parte superior de Riemann suma de $x\mapsto x^2$. Creo que tu artículo 4 de la siguiente manera a partir de este, y en el punto 1 de la siguiente manera desde el punto 4.