Encontrar todos los subcampos en extensión $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$

Question

Quiero encontrar todos los subcampos intermedios de extensión $\mathbb{Q}\subseteq \mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$. Supongo que $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ no es un campo de separación, ya que tendríamos % polinomio $x^4-2$, lo que también nos debe dar raíz de la unidad de orden 4 en el campo. ¿Estoy tiene derecho?

¿Cómo puedo encontrar estos subcampos? ¿Debería mirar todos los subcampos de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}, \omega)$ y luego tomarlos subcampos de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$?

Gracias

Answer 1

Estás en lo correcto en que no es una división de campo de la $\sqrt[4]{2}$, ya que en particular es totalmente real, pero $X^4-2$ es irreductible con soluciones complejas. Por lo tanto no es una división de campo de cualquier polinomio, ya que si lo fueron, a continuación, la extensión sería de Galois y contienen todas las raíces de $X^4-2$.

Uno de ellos perfectamente legítima estrategia sería buscar los subcampos de algunos de Galois de la extensión de $L/\mathbb{Q}$ contiene $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$ (lo que puede determinarse fácilmente una vez que identifique el grupo de Galois) y para identificar aquellos que se encuentran dentro de $\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$, observando el assosciated subgrupos de $Gal(L/\mathbb{Q})$ contiene $Gal(L/\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}))$. Sin embargo, este es un montón de trabajo (y requiere una gran cantidad de teoría, aunque esto no es algo malo en sí mismo). Hay una forma mucho más simple y más elemental forma de abordar este problema, sin embargo.

Sugerencia:

$[\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2}):\mathbb{Q}] = 4$ desde $f(X) = X^4-2$ es irreductible, por lo que la única adecuada de los subcampos son de grado $2$$\mathbb{Q}$. Si $K$ es uno de ellos, vamos a $g(X)$ ser el polinomio mínimo de a $\sqrt[4]{2}$ más de $K$. $g$ debe tener grado $2$, divida $f$ $\sqrt[4]{2}$ como una raíz. Esto le da un pequeño número de opciones posibles. A continuación, podemos utilizar el hecho de que los coeficientes de $g$ mentira en $K$ (lo cual es un verdadero campo) para determinar cuáles son los posibles valores de $g$ puede tomar, y esto nos dice lo suficiente como para ser capaz de determinar todas las posibles subcampos $K$.

Vale la pena señalar que la solución real es menor que la sugerencia, pero creo que es un buen ejercicio para trabajar a través de si usted no ha visto antes.

Answer 2

Creo que el siguiente argumento podría funcionar: como se explicó en la Tom de la prueba, el campo K es un campo de número de grado de 4 sobre Q, no es de Galois, y todas las posibles subcampos debe tener grado 2 sobre Q.

Esto es suficiente para deducir que el único campo de contenidos en K, aparte de Q es el cuadrática extensión de M generado por la raíz cuadrada de 2. El argumento es el siguiente: supongamos que K contiene M y otra cuadrática campo de número de N. Entonces K debe contener la compositum de M y N (el mínimo campo que contiene M y N), llame a L. L es un llamado de biquadratic campo de número, es un ejercicio fácil para mostrar que cualquier campo (obtenido como un compositum de 2 cuadrática número de campos) es un grado 4 extensión de Galois de Q (además, se puede ver que su grupo de Galois no es cíclica, es un producto de dos grupos cíclicos de orden 2). Desde K debe contener L y tanto K y L son de grado 4 número de campos, llegamos a la conclusión de que K=L, pero esto no tiene sentido, porque L es de Galois sobre Q y K no es. Esta contradicción muestra que K puede contener más de un cuadrática subcampo, y ya vemos que K contiene M esto contesta a tu pregunta.

Otra manera de demostrar que la misma es mediante la ramificación de los argumentos. Calcular el discriminante del polinomio x^4 - 2 ans sabiendo que su campo K es la contenida en la división de campo de este polinomio, se deduce que K es una extensión de Q se ramifica a sólo 2. Entonces cualquier posible subcampo M de K (que por un grado argumento tiene que ser cuadrática) es una ecuación cuadrática campo de número ramificado, sólo en 2. Pero es bien conocido y muy fácil demostrar que la única cuadrática de los campos de número de ramificaciones únicamente a las 2 son las generadas por la raíz cuadrada de -1, -2 o 2. Concluimos con el hecho de que K es real y esto implica que la cuadrática campo contiene tiene que ser real, por lo que el único candidato que está a la izquierda es la generada por la raíz cuadrada de 2.