Podemos minimizar $3^m 2^{n/m}$, determinado $n$?

Question

Si se nos da $n$, un real positivo, podemos encontrar un positivo real $m$ que minimiza la función:

$$3^m 2^{n/m}$$

Me gustaría encontrar la función que da un valor de $m$, pero yo también estoy interesado en asintótica de los límites para la $m$.

Answer 1

Minimizar $3^m2^{n/m}$ es lo mismo que minimizar $$\log 3^m2^{n/m} = m\log 3 + \frac nm\log2,$$ que podemos resolver a través de la configuración de la derivada en $m$ igual a $0$.

Answer 2

Si se toma el logaritmo, su expresión se convierte en $$m\ln 3+\frac{n\ln 2}{m}.$$ Por el aritmético-geométrico-significa la desigualdad $$ m\ln 3+\frac{n\ln 2}{m}\ge 2\sqrt{n\ln 3\ln2}$$ con la igualdad iff $m\ln 3=\frac{n\ln 2}{m}$, que es el fib $m=\sqrt{n\log_32}$.

Answer 3

Tomar el logaritmo de la expresión,

$$\log \left(3^m 2^{n/m}\right) = m\log 3 + \frac{n}{m}\log 2,$$

diferenciar con respecto a $m$,

$$\log 3 - \frac{n}{m^2}\log 2$$

para encontrar el punto crítico

$$m = \sqrt{n\frac{\log 2}{\log 3}}.$$

Puesto que la derivada es negativa para las pequeñas $m$ y positivo para los grandes, que es el mínimo global.

Answer 4

Sugerencia: $am+\frac{b}{m}$ es mínimo en $m=\sqrt{\frac{b}{a}}$.

Answer 5

Tomar registros tenemos $m \log 3 + \dfrac{n}{m} \log 2$ a minimizar. Como esta es una suma cuyo producto es una constante, el mínimo se produce cuando los términos son iguales.

Para solucionar $m \log 3 = \dfrac{n}{m} \log 2$ conseguir $m = \sqrt{n \log_3 2}$