Hay una serie donde los términos tienden a cero más rápido que la serie armónica, pero todavía se aparta?

Question

Sé que para la serie armónica $\lim_{n \to \infty} \frac1n = 0$ y $\sum_{n=1}^{\infty} \frac1n = \infty$.

Me estaba preguntando, ¿hay una secuencia de ($a_n =\dots$) que converge "más rápido" (no estoy totalmente seguro de lo que es la definición exacta aquí, pero creo que usted sabe lo que quiero decir...) de $\frac1n$ $0$y su serie de $\sum_{n=1}^{\infty}{a_n}= \infty$?

Si no, ¿hay pruebas de que?

Answer 1

No hay más lento divergentes de la serie. Permítanme que esto significa que, dado cualquier secuencia $a_n$ de los números positivos convergente a cero cuya serie diverge, hay una secuencia $b_n$ que converge a cero más rápido y la serie diverge, donde "más rápido" significa que $\lim b_n/a_n=0$. De hecho, dado ninguna secuencia de números positivos $(a_{1,n}), (a_{2,n}),\dots$ con cada una de las $\sum_n a_{i,n}=\infty$$\lim_n a_{i+1,n}/a_{i,n}=0$, $(a_n)$ $\sum a_n=\infty$ $\lim_n a_n/a_{i,n}=0$ todos los $i$.

Para ver esto, dado $a_1,a_2,\dots$, en primer lugar, defina $b_1=a_1,b_2=a_2,\dots,b_k=a_k$ hasta $a_1+\dots+a_k>1$. Segundo, vamos a $b_{k+1}=a_{k+1}/2,b_{k+2}=a_{k+2}/2,\dots,b_n=a_n/2$ hasta $a_{k+1}+\dots+a_n>2$, etc. Que es, se procede recursivamente; si hemos definido $b_1,\dots,b_m$$b_m=a_m/2^r$, e $b_1+\dots+b_m>r+1$, vamos a $b_{m+1}=a_{m+1}/2^{r+1},\dots,b_l=a_l/2^{r+1}$ hasta $a_{m+1}+\dots+a_l>2^{r+1}$. El resultado es que el$\sum b_i=\infty$$\lim b_i/a_i=0$.

Del mismo modo, dado $(a_{1,n}),(a_{2,n}),\dots$, con cada una de las $(a_{k+1,n})$ convergentes a cero más rápido que $(a_{k,n})$, y todos ellos divergentes, vamos a $a_i=a_{1,i}$ $i\le n_1$ donde$a_{1,1}+\dots+a_{1,n_1}>1$,$a_i=a_{2,i}$$n_1<i\le n_2$, donde pedimos tanto que $a_{2,n_1+1}+\dots+a_{2,n_2}>1$ y que para cualquier $k>n_2/2$ tenemos $a_{2,k}/a_{1,k}<1/2$, etc. Es decir, si hemos definido $n_k$, dejamos $a_i=a_{k+1,i}$ $n_k<i\le n_{k+1}$ donde $n_{k+1}$ es elegido de manera que $a_{k+1,n_k+1}+\dots+a_{k+1,n_{k+1}}>1$, y para todos los $l>n_{k+1}/2$ tenemos $a_{k+1,l}/a_{i,l}<1/2^{k+1}$ todos los $i<k+1$. A continuación, la serie de $\sum a_i$ diverge, y la secuencia de $(a_i)$ converge a $0$ más rápido que todos los $a_{i,n}$. En lenguaje moderno, diríamos que hay no $(\omega,0)$-las deficiencias en un cierto orden parcial.

Podemos modificar el anterior ligeramente de modo que, dado cualquier secuencias de $(a_{i,n})$ $\sum_n a_{i,n}<\infty$ $\lim_n a_{i+1,n}/a_{i,n}=\infty$ todos los $i$, podemos encontrar $(a_n)$$\sum_n a_n<\infty$$\lim_n a_n/a_{i,n}=\infty$, por lo que no hay forma más rápida convergente la serie, y ni siquiera teniendo en cuenta una secuencia de más rápido y más rápido convergente la serie es suficiente. (En términos modernos, no es $(0,\omega)$-gap.)

Lo que no puede hacer es en general, dado $(a_{i,n})$, con todos los $\sum_n a_{i,n}=\infty$, encontramos a $(a_n)$ $\sum a_n=\infty$ $a_n/a_{i,n}\to0$ todos los $i$, si el $a_{i,n}$ no están ordenados de manera que $a_{i+1,n}$ converge a cero más rápido que $a_{i,n}$. Por ejemplo, podemos tener $a_n=1/n$ si $n$ es impar y $a_n=1/n^2$ si $n$ es aún, y $b_n=1/n^2$ si $n$ es impar y $b_n=1/n$ si $n$ es aún, y si $c_n$ converge a cero más rápido de los dos, $\sum c_n$ converge. (Estas excepciones pueden ser normalmente fijado por pedir monotonía de las secuencias, que es cómo estos resultados se presentan usualmente en la literatura.)

Tenga en cuenta que el argumento que he dado es completamente general, no importa lo que la serie de los involucrados. Específicos de la serie, por supuesto, agradable "fórmulas" son posibles. Por ejemplo, dada $a_n=1/n$, podemos dejar que la $b_n=1/(n\log n)$$n>1$. O $c_n=1/(n\log n\log\log n)$$n\ge 3$. O ... Y luego podemos "diagonalize" en contra de todas estas secuencias como se ha indicado anteriormente.

Por cierto, en la primera persona en estudiar seriamente el límite entre la convergencia y la divergencia es Paul du Bois-Reymond. Él demostró una versión de el resultado que sólo mostró anteriormente, que no hay "disminución" de la secuencia de la divergencia de la serie "escapes" de la divergencia de la serie en la que siempre podemos encontrar una divergentes y con términos va a cero más rápido que los términos de cualquiera de ellos. Una buena cuenta de algunos de sus trabajos se pueden encontrar en el libro de Órdenes de Infinity por Hardy. Du Bois-Reymond trabajo se extendió por Hadamard y otros. Lo Hadamard demostrado es que, dada $(a_i)$ $(b_i)$ con $\sum a_i=\infty$, $\sum b_i<\infty$, y $b_i/a_i\to 0$, podemos encontrar $(c_i),(d_i)$ con $c_i/a_i\to0$, $b_i/d_i\to 0$, $d_i/c_i\to0$, $\sum c_i=\infty$, $\sum d_i<\infty$. De manera más general:

Si tenemos dos secuencias de la serie,$(a_{1,n}), (a_{2,n}),\dots$$(b_{1,n}),(b_{2,n}),\dots$, de tal manera que

• Cada una de las $(a_{i+1,n})$ converge a cero más rápido que el anterior,
• Cada una de las $(b_{i+1,n})$ converge a cero más lento que el anterior,
• Cada una de las $(a_{i,n})$ converge a cero más lento de todos los $(b_{j,n})$,
• Cada una de las $\sum_n a_{i,n}$ diverge, y
• Cada una de las $\sum_n b_{i,n}$ converge,

a continuación, podemos encontrar secuencias de $(c_n),(d_n)$, "entre", con una serie convergente y otra divergente.

En lenguaje moderno, podemos decir que no hay $(\omega,\omega)$-lagunas, y del mismo modo, no hay $(\omega,1)$- o $(1,\omega)$-lagunas. Esta línea de investigación se llevó a algunos de Hausdorff profundo de los resultados en la teoría de conjuntos, tales como la existencia de los llamados $(\omega_1,\omega_1)$- o Hausdorff lagunas. Lo Hausdorff demostrado es que este "interpolación" del proceso, que pueden repetirse countably muchas veces, no puede, en general, se lleva a cabo la $\omega_1$ veces $\omega_1$ es el primer innumerables ordinal.

Answer 2

Me había preguntado acerca de esto un largo tiempo atrás, y luego vino a través de este. La serie

$$\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n (\ln\ln n)}=\infty$$

se bifurca y puede ser muy fácilmente demostrado por la integral de la prueba. Pero aquí es el trampolín. Esta serie en realidad requiere de googolplex número de términos que antes de la suma parcial supera los 10. Hablar lento! Es natural que si el logaritmo natural es lento, a continuación, tomar el logaritmo natural de los naturales de registro para hacer que difieren aún más lento.

Aquí es otro. Esta serie

$$\sum_{n=3}^{\infty}\frac{1}{n\ln n (\ln\ln n)^2}=38.43...$$

en realidad converge el uso de la misma (integral) de la prueba. Pero converge tan lentamente que esta serie requiere de $10^{3.14\times10^{86}}$ antes de la obtención de dos dígitos de precisión. Así que el uso de estos iterada logaritmos usted puede venir para arriba con una serie que converge o diverge de manera "arbitraria lentamente".

Referencia: Zwillinger, D. (Ed.). CRC Matemática Estándar de Tablas y Fórmulas, 30 ed. Boca Raton, FL: CRC Press, 1996.

Answer 3

Si utilizamos la noción de una suma parcial:

$$S_n = \sum_{k=1}^n a_k$$

usted está pidiendo una serie en la que las sumas parciales divergen más lentamente de lo $\sum_{k=1}^n 1/k$$n\to\infty$. Para que esto suceda, sólo tenemos que encontrar a $a_k$ tal que $a_k < 1/k$ todos los $k>c$ donde $c$ algo de valor.

Ver el $a_k = \frac{1}{k\ln k}$. Vamos a hacer la integral de la prueba para demostrar esto diverge. La sustitución se utiliza es $u = \ln k$, de modo que $du = dk/k$.

$$\int \frac{dk}{k\ln k}=\int \frac{du}{u}=\ln u = \ln {\ln k}$$

Poner en los límites de $2$ $\infty$ muestra que este hecho se bifurca. Y para$k>c=e$,$1/(k\ln k) < 1/k$.