La generación de ternas pitagóricas en esta pregunta

Question

Encontrar todos los enteros soluciones a $x^{2}+8xy+25y^{2}=225 \tag 1$

$(1)$ puede ser escrito como $$(x+4y)^2 + (3y)^2 = 15^2$$

Esto reduce el problema a una cuestión de la generación de ternas pitagóricas. Yo estoy pensando en que Euclides del método podría ser útil, pero no es inmediatamente obvio para mí cómo usarlo.

Answer 1

Considere la ecuación cuadrática $$x^2 + 8xy + 25y^2 - 225 = 0$$ donde $x$ es el desconocido. Calcular $$\frac{\Delta}{4} = 16y^2 - 25y^2 + 225 = 225 - 9 y^2.$$ A continuación, $x$ es un número entero si y sólo si el discriminante es un cuadrado perfecto.

Observe que $9 \cdot 5^2 = 225 = 0$, por lo $-5 \le y \le 5$. Ahora compruebe que $y$ el discriminante es un cuadrado perfecto, y luego calcular las soluciones para ambos $x$$y$.

Answer 2

Tenga en cuenta que :-

$$15^2=9^2+12^2$$ es cierto.

Por eso,$$(x+4y)^2+(3y)^2=9^2+12^2$$