Pregunta acerca de un determinado operador lineal

Question

Sea a un operador lineal. $A: L^2(0,1) \rightarrow L^2(0,1)$ $Ag(a) = \int_0^a(a-x)g(x)dx$ donde $a \in (0,1)$. Esta es la integral de operador, y sabemos que ||A|| < 1, que es fácil de comprobar. Queremos mostrar a $A^kg(a) = \int_0^a\frac{(a-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}g(x)dx$ donde $a \in (0,1)$. La inducción parece una manera obvia de este enfoque:

Base de caso k = 1: $(2k-1)! = 1 $ $(2k-1) = 1$ por lo tanto $A^1g(a)$ es la misma que la dada.

Inducción de la hipótesis: Supongamos $A^ng(a) = \int_0^a\frac{(a-x)^{2n-1}}{(2n-1)!}g(x)dx$ cumple para n = k.

Inducción paso: Aplicar el operador lineal $A$$A^ng(a)$, teniendo un poco de problemas con esto, obtendríamos las integrales dobles?

Después de que nos han mostrado $A^kg(a)$ como en el anterior, luego que la utilizaremos para encontrar $g(a):$

$f \in L^2(0,1)$ $g \in L^2(0,1)$ $g(a) = f(a) + \int_0^a(a-x)g(x)dx$ , a partir de esto podemos encontrar $g = (I - A)^{-1}f = \sum_{i=0}^\infty A^if = \sum_{i=0}^\infty \int_0^a\frac{(a-x)^{2i-1}}{(2i-1)!}f $ ahora tenemos que tratar de simplificar esto de alguna manera y encontrar g sin sumatorias.

Answer 1

1) Para la inducción paso nota que $$ \begin{align} A^{k+1}(g)(a) &=\int_0^a (a-t)A^k(g)(t)dt\\ &=\int_0^a (a-t)\int_0^t \frac{(t-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}g(x)dxdt\\ &=\int_0^a \int_0^t \frac{(a-t)(t-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}g(x)dxdt\\ &=\int_0^a \int_{x}^{a} \frac{(a-t)(t-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}g(x)dtdx\\ &=\int_0^a\frac{g(x)}{(2k-1)!}\int_{x}^{a} (a-t)(t-x)^{2k-1}dtdx\\ &=\int_0^a\frac{g(x)}{(2k-1)!}\frac{(a-x)^{2k+1}}{2k(2k+1)}dx\\ &=\int_0^a\frac{(a-x)^{2k+1}}{(2k+1)!}g(x)dx\\ \end{align} $$ 2) en cuanto a la segunda parte wlog $f\geq 0$, y los sumandos son positivos. Así que usted puede intercambiar la integración y la suma de: $$ \begin{align} g(a) &=A^0(f)(a)+\sum\limits_{k=1}^\infty A^k (f)(a)\\ &=f(a)+\sum\limits_{k=1}^\infty \int_0^a\frac{(a-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}f(x)dx\\ &=f(a)+\int_0^a\sum\limits_{k=0}^\infty\frac{(a-x)^{2k-1}}{(2k-1)!}f(x)dx\\ &=f(a)+\int_0^a\sinh(a-x) f(x)dx\\ \end{align} $$

Answer 2

Trate de esta manera: Si usted mira Un²g(a), se obtiene ∫(x-a)[∫(x-a)g(x)dx]dx.

Puesto que usted está en la L₂ todo es integrable y se puede reescribir esto como ∫g(x) [∫(- x)²dx]dx = ∫(- x)³g(x)/3 dx. Esta se ve buena, aunque le falta un factor de 1/2.

Usted puede seguir de esta manera, y usted conseguirá lo que usted desea, falta el factor de 1/2, que está allí en algún lugar y no puedo ver; o no está allí y su fórmula de necesidades de un factor de 2. Alguien me puede ayudar aquí?