espacio vectorial sin verificación de los axiomas

Question

Estoy tratando de mostrar que las funciones $c_1 + c_2 \sin^2 x + c_3 \cos^2 x$ forma un espacio vectorial.

Y por eso tengo que encontrar una base del mismo, y su dimensión.

Es allí una manera de cómo hacer esto sin verificar el 8 axiomas de un espacio vectorial, y si dejamos que el conjunto $X = \{c_1 + c_2 \sin^2 x + c_3 \cos^2 x\}$, a continuación, tomamos nota de que $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$, y esto es suficiente. Por lo que la dimensión es $2$. Gracias.

Puede usted por favor proporcionar aclaraciones sobre cómo el argumento de la subespacio del espacio vectorial de la siguiente manera? Creo que lo hizo ya por la inspección, pero no es muy completo, para mí, puede usted por favor escribirla? Gracias

Answer 1

Cada set $X$ de los objetos de forma un espacio vectorial sobre campo elegido.

Es el libre espacio vectorial sobre $X$: $F(X)$. Su base es el conjunto de $X$ y su dimensión es la cardinalidad de a $X$.

Usted debe tener cuidado de a qué te refieres al decir que algo formularios de algo.

Answer 2

Para demostrar que el lapso de un conjunto de vectores que se forma un subespacio de un espacio vectorial se puede utilizar el subespacio de prueba el teorema. Supongamos $W = span\{ v_1,v_2, \dots v_k \}$ donde "span" significa el conjunto de todas las combinaciones lineales con coeficientes de $\mathbb{R}$. Nota: $W \neq \emptyset$ $0$ es una combinación lineal $0v_1+0v_2+ \cdots +0v_k=0$. Por otra parte, si $x,y \in W$ $c \in \mathbb{R}$ $x = x_1v_1+ \cdots x_kv_k$ $y=y_1v_1+\cdots +y_kv_k$ de las constantes de $x_i,y_j \in \mathbb{R}$. Considere a continuación:

$$ cx+y = c[x_1v_1+ \cdots x_kv_k]+y_1v_1+\cdots +y_kv_k = (cx_1+y_1)v_1+\cdots + (cx_k+y_k)v_k $$

Por lo tanto $cx+y \in W$. De ello se desprende que el vacío $W$ es cerrado bajo la multiplicación escalar y de adición de vectores y por el subespacio de la prueba nos encontramos con $W$ es un subespacio. Esto significa $W$ es un espacio vectorial con respecto a las operaciones del espacio vectorial $V$ que contiene $W$.

Ahora, usted puede tomar el conjunto redundante $\{ 1, \cos^2 \theta, \sin^2 \theta \}$ como un sistema generador para su subespacio $W$, sin embargo esto no sería una base.

Para encontrar una base que usted necesita para seleccionar vectores linealmente independientes cuya longitud es de $W$. Usted ya se señaló $\sin^2 \theta+\cos^2 \theta=1$ en tu post. Piense acerca de esto. Usted puede ver cómo para escribir uno de los vectores en $\{ 1, \cos^2 \theta, \sin^2 \theta \}$ como una combinación lineal de los restantes vectores. Usted tiene al menos tres opciones obvias para la base aquí. Espero que esto ayude.