El problema es resolver la ecuación <x id="2317"/>.

Question

La siguiente ecuación diophantine ocurrió en el pasado el papel de un concurso de Matemáticas que voy a hacer pronto: $$ 2(x+y)=xy+9.$$

Aunque sé que la solución es $(1,7)$, estoy seguro de cómo llegar a este resultado. Claramente, el producto $xy$ debe ser impar desde $2(x+y)$ debe ser, sin embargo más allá de eso, soy incapaz de ver nada más que yo pueda hacer para solucionar el problema. También he intentado usar el AM-GM de la desigualdad, sin embargo, no simplificar el problema:$$(x+y)+(x-xy+y)\le(\frac{(x+y)+(x+y-xy)}{2})^2.$$ Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Necesitamos resolver $$xy-2(x+y)+4=-5$$ o $$(x-2)(y-2)=-5$$ y queda por resolver los siguientes sistemas.

$x-2=1$ $y-2=-5$;

$x-2=-1$ $y-2=5$;

$x-2=5$ $y-2=-1$ y

$x-2=-5$ $y-2=1$,

el que da la respuesta: $\{(1,7),(7,1), (3,-3),(-3,3)\}$.

Answer 2

$2(x+y) = xy +9 \implies 2x - xy = 9 - 2y \implies x = \frac{9-2y}{2-y} = \frac{2y-9}{y-2} = 2 - \frac{5}{y-2}$.

Si $x$ es un entero, entonces $\frac{5}{y-2}$ es también un entero. Esto le dirá qué $y$ puede ser, entonces qué $x$. Estas probando te dará la solución $y=7, x=1$ y la solución de $y=3,x=-3$, que luego le dará cuatro soluciones, ya que puede cambiar $x,y$ (no cambia la ecuación) y más soluciones.