Si tengo un objeto que es de cierta longitud $l$ en un movimiento relativista de la velocidad de $v$ para algunos marco de referencia de una 1D universo, entonces la longitud de la contracción de los estados que $l=\gamma\times l'$. Pero en el marco de referencia, no hay contracción de longitud, desde el no $v=0$. La curvatura de un espacio Euclídeo de allí. Sin embargo, si puedo mover mi marco de referencia para el objeto que viaja con una velocidad de $v$, exactamente lo opuesto es cierto, no pudiendo ser la curvatura cerca de la imprimación marco de la imprimación punto de vista. ¿Qué pasa si uno de los objetos está acelerando? Si yo estoy de pie en un planeta, mi geometría del espacio de acuerdo con lo que alguien que no está de pie sobre una ve?
Respuesta
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Vamos a quedarnos con el ejemplo inicial de la contracción de longitud en la relatividad especial. La longitud es un ejemplo de algo que no es invariante, que es diferente observadores de medida de longitudes diferentes. Sin embargo, hay una cantidad llamada en el tiempo apropiado, $\tau$, que es un invariante en SR:
$$ d\tau^2 = dt^2 - dx^2 - dy^2 - dz^2 $$
Con esto quiero decir que para cualquiera de los dos puntos espacio-tiempo, todos los observadores medirán al mismo tiempo apropiado entre los dos puntos. Tenga en cuenta que diferentes observadores medir diferentes valores de $dt$, $dx$, etc, pero cuando se combina para dar a $d\tau$ todos los observadores obtendrá el mismo valor. De hecho, a partir de la invariancia de $d\tau$, se pueden derivar las transformaciones de Lorenz y todos los extraños efectos que se ven en el SR.
Por lo que el tiempo es un ejemplo de un invariante, es decir, algo que no depende de la trama de el observador. De hecho, es un invariante en la relatividad general, aunque la fórmula para calcular el momento adecuado (llamada la métrica) generalmente es más complicado porque tiene que tomar la curvatura en cuenta.
El director invariante en GR es la curvatura de Riemann tensor, y esto es lo que generalmente se entiende por el término de curvatura. Así que la respuesta a tu pregunta es que sí, en GR la curvatura es un invariante. Pero esto no es tan simple como suena. El tensor de Riemann es generalmente representada como una matriz que tiene 20 independiente de los componentes. Diferentes observadores medir diferentes valores para los componentes de la matriz, pero cuando se combina ellos siempre dan la misma cantidad física. Esto es similar a la situación en SR en el que diferentes observadores medir diferentes valores para $dt$, $dx$, etc pero cuando se combina obtendrá el mismo valor de $d\tau$.
Para tomar su ejemplo de estar en el Earyh viendo caer una manzana. Se siente la fuerza gravitacional de la tierra y ver la manzana acelerando hacia abajo. La manzana no siente la fuerza, y ve a la Tierra y hacia la aceleración. Usted y la manzana de acuerdo en el valor de la curvatura de Riemann tensor, pero en sus diferentes marcos se produce aparentemente diferente comportamiento.
