$\lim_{{n}\to {\infty}}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=?$

Question

Encontrar el límite de la siguiente secuencia:

$$\lim_{{n}\to {\infty}}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}=?$$

He probado usando el teorema de Stolz-Cesaro. Yo he marcado $a_n=1^p+2^p+\cdots+n^p$ y $b_n=n^{p+1}$.

Después de algunas transformaciones tengo % $ $$\lim_{{n}\to{\infty}} \frac{(n+1)^p}{(n+1)^p-n^p},$pero después de la ampliación de los binomios, no podía hacer cualquier transformación que me daría un resultado satisfactorio. ¿Usted me puede ayudar por favor? Muchas gracias.

Answer 1

Indirecta: $S(n,p) = \dfrac{1}{n}\left(\left(\dfrac{1}{n}\right)^p + \left(\dfrac{2}{n}\right)^p+\cdots \left(\dfrac{n}{n}\right)^p\right)\to \displaystyle \int_{0}^1 x^pdx$

Answer 2

La aplicación de Stolz-Cesaro conduce a:

$$\lim_{{n}\to{\infty}} \frac{(n+1)^p}{(n+1)^{p+1}-n^{p+1}} = \lim_{{n}\to{\infty}} \frac{1}{n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p+1}-n}$$

dividiendo el numerador y el denominador por $n^{p}$.

Expanda el denominador en el poder de la serie:

$$n\left(1+\frac{1}{n}\right)^{p+1}-n = \binom{p+1}{1} + \binom{p+1}{2}\frac{1}{n}+\mathcal{O}(1/n^2)$$

Es evidente que los enfoques $p+1$$n \to \infty$.

Por lo tanto, su límite requerido es $\frac{1}{p+1}$

Si usted está buscando ligeramente diferentes argumentos aparte de la Stolz-Cesaro o la ya mencionada idea en la otra respuesta,

Aquí está una agradable por @Jack D'Aurizio

$\displaystyle k(k-1)\cdot\ldots\cdot(k-p+1)=p!\binom{k}{p}\leq k^p \leq p!\binom{k+p}{p}=(k+p)\cdot\ldots\cdot(k+1)$

para cada una de las $1 \le k \le n$

Por lo tanto,

$$p!\binom{n+1}{p+1} = p!\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{k}{p}\leq \sum\limits_{k=1}^{n} k^p \leq p!\sum\limits_{k=1}^{n}\binom{k+p}{p} = p!\binom{n+p+1}{p+1}$$

Por lo tanto, $\displaystyle \lim_{{n}\to {\infty}}\frac{1^p+2^p+\cdots+n^p}{n^{p+1}}= \frac{1}{p+1}$ por el Teorema del sándwich.