Un lema sobre la extensión de la función

Question

Definición Supongamos que $f(M)$ $\mathcal C^n$- función cuyo dominio es $\mathcal X$. Si $f^*(M)$ $\mathcal C^n$- función cuyo dominio es $\mathcal X^*$, e $f(M)=f^*(M)$ siempre $M\in\mathcal X\cap\mathcal X^*$, lo que llamamos la $f^*$ ($\mathcal C^n$- ) la extensión de $f$, e $f$ ($\mathcal C^n$- ) extendido en $\mathcal X^*$.

Lema Dado que el $f(x,y)$ es $\mathcal C^n$ ($n\ge1$) función en algún conjunto abierto acotado $\mathcal M\subset\Bbb R^2$, cuyo límite es $\mathcal L$, y para cada punto en $\mathcal L$, hay un barrio en el que $f$ $\mathcal C^n$- extendida. Llegamos a la conclusión de que $f$ podría ser extendida en $\Bbb R^2$.

Fuente Григорий Михайлович Фихтенгольц

He encontrado que la prueba en el libro era tan complicado de entender para mí, así que estoy buscando alguna explicación, lo más intuitiva posible. Alguien me puede ayudar? Muchas gracias!

Answer 1

Como $\bar M=M\cup L$ es compacto sugiero trabajar con lo que se denomina partición de la unidad:

Para cada una de las $p\in \bar M$ hay un $\epsilon>0$ (dependiendo $p$) tal que $f$ puede ser fácilmente extendido a $U_{3\epsilon}(p)$. La familia $\bigl(U_\epsilon(p)\bigr)_{p\in L}$ es una cubierta de $\bar M$; por lo tanto, no existen puntos de $p_k\in \bar M$ $\ (1\leq k\leq N)$ tal que $$\bar M\subset\Omega:=\bigcup_{k=1}^N U_{\epsilon_k}(p_k)\ .$$ Para cada una de las $k\in[N]$ no es un porcentaje ($C^n$- (incluso un $C^\infty$-) la función de $\phi_k: {\mathbb R}^2\to [0,1]$ $\phi_k(z)\equiv1$ $z\in U_{\epsilon_k}(p_k)$ $\phi_k(z)\equiv0$ fuera de $U_{2\epsilon_k}(p_k)$. (Primero se tiene que construir de una vez por todas a $C^n$-función de $\chi$$\equiv1$$0\leq t\leq1$$\equiv0$$t\geq2$. A continuación, poner $\phi_k(z):=\chi\bigl({|z-p_k|\over\epsilon_k}\bigr)$. )

Por motivos técnicos, necesitamos de la función auxiliar $$\phi_*(z):=\prod_{k=1}^N \bigl(1-\phi_k(z)\bigr)\in[0,1]\ .$$ Es $\equiv0$ $\Omega\supset \bar M$ $=1$ en todos los puntos de $z$ cuando la $\phi_k$ simultáneamente se desvanecen. Ahora ponga $$\psi_k(z):={\phi_k(z)\over \phi_*(z)+\sum_{k=1}^N\phi_k(z)}\qquad(1\leq k\leq N)\ .$$ Cada una de las $\psi_k:{\mathbb R}^2\to[0,1]$ es suave y $\equiv0$ fuera de $U_{2\epsilon_k}(p_k)$, y lo que es esencial: El $\psi_k$ total$1$$\Omega$.

Para cada una de las $k$ seleccione una extensión $f_k$ $f$ $U_{3\epsilon_k}(p_k)$y poner $$g_k(z):=\cases{\psi_k(z)f_k(z) &$\bigl (z\U_{3\epsilon_k}(p_k)\bigr)$\cr 0 & (otherwise)\cr}\ .$$ El $g_k$ son suaves en todos los de ${\mathbb R}^2$, y uno fácilmente se comprueba que $$f_*(z):= \sum_{k=1}^N g_k(z)$$ is a smooth extension of $f$ to all of ${\mathbb R}^2$.

Answer 2

De forma intuitiva:

La hipótesis de que, dado un punto de $x$ sobre el límite de $\mathcal L$ existe un entorno de ese punto en el que tiene su extensión es de gran ayuda, creo. Así, para cada una de las $x$ sobre el límite tomar la unión de todo el barrio de $x$. Este será un conjunto abierto, y de manera intuitiva algunos "abrir la banda de" alrededor de su dominio, que también entra en el dominio de sí mismo un poco.

Bueno, entonces, ¿qué hacemos ahora? Tomar para cada una de las $x$ sobre el límite de su dominio, la distancia mínima $d_x = d(x, \complement E)$ para el complemento de su dominio, incluyendo la extensión con la banda. Así, usted puede tener algunos problemas de ahora. Por ejemplo, ¿esta distancia ir a $0$? Es posible que si lo haces de esta manera. Sin embargo, lo que a menudo puede hacer es cierta compacidad argumento y tomar un número finito de subcover y serás grande. En el caso de que usted va a tener un resultado positivo de la distancia. La idea ahora es que te hacen un indicador de la función (función que es $1$ o $0$)$1$, hasta el límite de su función original y se extiende un poco en su "abrir la banda" (que tiene que ser reducido para hacer las cosas aún positiva).

A la derecha, la idea entonces es que usted tiene una buena función que todavía no es liso del todo pero no hace nada para el dominio de la función en sí (después de la multiplicación), pero no corte el dominio extendido ligeramente. Un buen truco ahora es de convolución. Tome algo tan suave como la de un bebé a tope y, a continuación, usted convolución! El resultado va tienen propiedades similares como su función original, pero va a ser suave. Sin embargo, tenga cuidado.

Soy plenamente consciente de que esto no es una prueba plena (o no del todo) pero quería darle una idea posible.

Algunos detalles: Tenga en cuenta que el límite de un conjunto abierto es cerrado. Esta es la diferencia de el cierre de la serie en sí y de su complemento. Por lo tanto, tenemos un conjunto cerrado.

Bueno, ahora que nuestro conjunto, incluyendo el límite es compacto porque es cerrado y acotado. Esto significa que para cualquier apertura de la tapa podemos seleccionar finito subcover. Esto es algo que nos gustaría tener como esto significa que podemos cubrir nuestras conjunto con un número finito de bolas.

Luego invocamos a nuestra condición de tener las bolas en el límite. Tomemos todas estas pelotas y hacer una apertura de la tapa para nuestro conjunto. Debemos tener cuidado ya que aunque el límite está cerrada que no tiene que ser delimitada en general creo. No estoy muy familiarizado con estos topológico peculiaridades, por lo que tendría que pensar en ello. Tal vez el límite puede ser un poco de espacio de llenado de la curva y que sería muy molesto, por decir lo menos, 8-).

De cualquier manera, usted tiene que tener cuidado, usted solamente desea reducir la portada de la frontera a un número finito subcover, si sólo ingenuamente agregar esto a su tapa original, que sólo podría ocurrir que en algunos puntos de límite no hay "ningún espacio a la izquierda". Sólo considere la posibilidad de decir un círculo con una cubierta de su límite. Si su cobertura tiene el círculo de sí mismo, esto es lo que va a permanecer.

Todo lo que quiero hacer es asegurarse de que hay un poco más grande que el dominio original de donde yo soy se le permite cambiar los valores de la función. Esa es la idea. El resto son los tecnicismos 8-).

Answer 3

Es solo un esquema de mejora de Blatter de la prueba.

Conclusión 0 Dado $f$ $\mathcal C^n$- función cuyo dominio es el open set $\mathcal X$, e $f$ $\mathcal C^n$- extendido en el abierto de establecer$\mathcal X^*$, $f$ $\mathcal C^n$- extendido en $\mathcal X\cup\mathcal X^*$.

Conclusión 1 Si $f$ $\mathcal C^n$ en el conjunto abierto $\mathcal M_1$$\mathcal M_2$,$f$$\mathcal C^n$$\mathcal M_1\cup\mathcal M_2$.

Conclusión 2 Deje $\overline{\mathcal M}=\mathcal M\cup\mathcal L$, $\overline{\mathcal M}$ es un conjunto cerrado.

Conclusión 3 Para cada punto en $\overline{\mathcal M}$, hay un barrio en el que $f$ $\mathcal C^n$- extendida. (Sugerencia: para cada una de las $p\in\mathcal M$, hay un barrio completamente en $\mathcal M$)

Conclusión 4 Para cada punto de $P$$\Bbb R^2$$r>0$, hay un $\mathcal C^n$-función de $\phi:\Bbb R^2\to\Bbb R$ donde $\phi(M)=1$ siempre $|MP|\le r$, e $\phi(M)=0$ siempre $|MP|\ge2r$.

Ahora vamos a empezar la prueba. Como en la conclusión 3, podemos encontrar un abrir barrio para cada punto en $\overline{\mathcal M}$. Estos barrios cubrir el conjunto cerrado $\overline{\mathcal M}$, por lo que hay finity muchos barrios, decir $U_{3r_1}(P_1),\ldots,U_{3r_m}(P_m)$ (donde 3 en $3r_k$ es importante), cubriendo $\overline{\mathcal M}$. Como en la conclusión 4, podemos definir un $\mathcal C^n$-función de $\phi_k$ por cada punto de $P_k$ y radio de $r_k$.

Supongamos que $\phi_*(M)=(1-\phi_1(M))\cdots(1-\phi_m(M))$, $\psi_k(M)=\phi_k(M)/(\phi_*(M)+\sum_{j=1}^m\phi_j(M))$, tenemos $\phi_*$, $\psi_k$ es $\mathcal C^n$, e $\psi_k(M)=0$ al $M$ está fuera de $U_{2r_k}(P_k)$.

Para cada una de las $k$ seleccione una extensión $f_k$ $f$ $\mathcal M\cup U_{3r_k}(P_k)$(para la conclusión de 0) y dejar que $$g_k(M)=\begin{cases}\psi_k(M)f_k(M),&\qquad M\textrm{ is in $\mathcal M\copa U_{3r_k}(P_k)$}\\0&\qquad M\textrm{ is outside $U_{2r_k}(P_k)$}\end{cases}$$

Sugerencia: Usted está confundido acerca de la inconexión de los dos casos, hasta que te das cuenta de que $\psi_k(M)=0$ siempre $M$ está fuera de $U_{2r_k}(P_k)$.

$g_k$ $\mathcal C^n$ a causa de conclusión 1. Ahora nos vamos a $f^*(M)=g_1(M)+\cdots+g_m(M)$, y tenemos $f^*$$\mathcal C^n$.

Para cada una de las $M\in\mathcal M$, tenemos $$f^*(M)=\sum_{k=1}^mg_k(M)=\sum_{k=1}^m\psi_k(M)f(M)=\sum_{k=1}^m\psi_k(M)=1$$ Q. E. D