Al aplicar la fórmula cuadrática a una ecuación de primer grado

Question

Probablemente esté pensando: "¿Por qué?". Déjeme explicarle...

Es ( muy ) bien conocido que

$$ \forall (a,b,c,x) \in \mathbb{C}^* \times \mathbb{C}^3: ax^2 + bx + c = 0 \Leftrightarrow x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}. $$

Por alguna extraña razón, decidí intentar resolver $ bx + c = 0 $ utilizando esta fórmula introduciendo un término $ \alpha x^2 $ y eliminarlo en el límite $ \alpha \to 0 $ . Haciendo esto con la regla de L'Hopital, encuentro estas soluciones:

$$ \displaystyle x_1 = \lim_{\alpha \to 0} {\frac{-b + \sqrt{b^2 - 4c \alpha}}{2 \alpha}} = \lim_{\alpha \to 0} {\frac{-c}{\sqrt{b^2 - 4c \alpha}}} = \frac{-c}{b}, $$

$$ \displaystyle x_2 = \lim_{\alpha \to 0} {\frac{-b - \sqrt{b^2 - 4c \alpha}}{2 \alpha}} = \infty. $$

Lo primero era de esperar, pero todavía no he podido explicar lo segundo de forma limpia (es decir, de una forma distinta a "desde $ -c/b $ se ha ido, no puede ser un número verdadero").

Además, si se realiza el proceso análogo un grado por debajo, se obtiene una raíz en el cero o en el infinito, dependiendo de la constante. Esta última posibilidad (que se da cuando $ c \neq 0 $ ) corresponde al caso irresoluble, mientras que el primero (en el que $ c = 0 $ ) corresponde al que se satisface trivialmente, por lo que una raíz en cero parece tener aquí un significado muy diferente al de $ x_1 = 0 $ arriba, donde $ x_1 $ da la ubicación de la raíz única y genuina de $ bx + 0 = 0 $ proporcionó $ b \neq 0 $ .

Mi pregunta es

1. por qué una solución a cero puede tener cualquiera de los dos significados que acabamos de describir, y
2. si la raíz fantasma $ x_2 = \infty $ (obtenido al tratar el polinomio de primer grado $ bx + c $ como un caso degenerado del de segundo grado) tiene una interpretación significativa.

Gracias a todos de antemano, y disculpen si mi composición tipográfica no se ve bien (es mi primera experiencia).

Answer 1

Sólo una nota sobre tu intento de resolver una cuadrática degenerada: recuerda que la fórmula cuadrática puede derivarse de dos maneras: resolviendo ax²+bx+c para x, o resolviendo a+b/x+c/x² para 1/x y luego recíprocamente el resultado. De este modo, la "raíz infinita" de una ecuación es la raíz 0 de la ecuación inversa.

Answer 2

Creo que la respuesta es trabajar de forma proyectiva. En lugar de considerar las soluciones a $ax^2 + bx + c = 0$ en $\mathbb{C}$ hay que pensar en las soluciones a $aX^2 + bXY + cY^2 = 0$ en $\mathbb{P}^1(\mathbb{C})$ . Entonces el $a = 0$ es fácil de explicar; la ecuación correspondiente $bXY + cY^2 = 0$ tiene una raíz $(c : -b)$ que se espera y otro $(1 : 0)$ que es el punto en el infinito.

Esto me parece razonable porque la degeneración en $a = 0$ es algo así como un fallo del teorema de Bezout, que se repara precisamente trabajando de forma proyectiva.

Answer 3

Informalmente, el polinomio "cuadrático" con a=0 tiene un segundo cero en el punto de compactación en el infinito. Gráficamente (trabajando en los reales):

Así, al pasar a por el cero, la "cuadrática" pasa por el caso especial lineal, donde el segundo cero pasa por el infinito, cruzando entre los extremos positivo y negativo del eje real.

Creo que esto es paralelo a la explicación más técnica dada por Qiaochu Yuan.