Valores propios de $A+B$

Question

$A,B$ son matrices simétricas, $A$ tiene valores propios en $[a,b]$ $B$ tiene valores propios en $[c,d]$ y necesitamos mostrar que valores propios $A+B$ se encuentran en $[a+c,b+d]$, yo realmente no estoy dónde empezar. Lo que sé $A,B$ tienen valores propios reales, también son diagonalizable.

Answer 1

Podemos utilizar cocientes de Rayleigh: una matriz simétrica $M$ y $x\neq 0$, se define como el $R_M(x):=\frac{\langle Mx,x\rangle}{\lVert x\rVert^2}$. Si $\lambda_1\leq\ldots\leq \lambda_n$ son los valores propios de $M$, y %#% $de #% de ver esto, con el hecho de que$$\lambda_1=\min_{x\neq 0}R_M(x)\quad\mbox{and}\quad\lambda_n=\max_{x\neq 0}R_M(x).$ es diagonalizable en una base ortonormal de vectores propios (para sólo tratar con el caso $M$ diagonal.

Una vez que tengas este resultado, el valor propio de mininmal $M$ es $A+B$. Usar un argumento similar para la $\geq\min_{x\neq 0}\frac{\langle Ax,x\rangle}{\lVert x\rVert^2}+\frac{\langle Bx,x\rangle}{\lVert x\rVert^2}\geq a+c$.