¿Cómo integrar $\frac{dx}{(x-p)\sqrt {(x-p)(x-q)}}$?

Question

¿Cómo integrar $\frac{dx}{(x-p)\sqrt {(x-p)(x-q)}}$?

He intentado sustituir $x=1/t$ pero es lo que es más complicado. ¿Alguna sugerencia?

Answer 1

Sugerencia. Por el cambio de variable u $$= \sqrt {\frac {x-q} {x-p}}, \qquad du=-\frac{(p-q)} 2\cdot \frac{dx} {(x-p) \sqrt {(x-p)(x-q)}}$$ uno deduce

$$\int\frac{dx} {(x-p) \sqrt {(x-p)(x-q)}} = \frac2{(p-q)} \int du=-\frac2{(p-q)} \sqrt{\frac{x-q}{x-p}}+C.$$

Answer 2

Un excelente enfoque sería sustituir $(x-p)=1/t$. La mayoría de los términos se puede cancelar después de eso. Siguiente utilizando la fórmula de integración por $x^n$, es decir, $(x^{n+1})/(n+1)$ es suficiente para llegar a la respuesta final!

Answer 3

Esta pregunta trata de sustitución. Mediante el uso de $(x-p)(x-q)=(x-\frac{p+q}{2})^2-(\frac{p-q}{2})^2$. Ahora sustituye $x-\frac{p+q}{2}=\frac{p-q}{2}sec(t)$. Así $x-p=\frac{p-q}{2}(sec(t)-1)$. Ahora se convertirá en integral $$I=\int \frac{\frac{(p-q)}{2}sec(t)tan(t)dt}{\frac{p-q}{2}(sec(t)-1)|\frac{p-q}{2}|tan(t)}=\int \frac{2dt}{|p-q|(1-cos(t))}$$ So $I$ será igual a

$$I=-\frac{2cot(\frac{t}{2})}{|p-q|}$$ Put the value of $t$ and get integral in terms of $x$