Media distancia más corta entre un círculo y un punto al azar en lo

Question

¿Cuál es el promedio de la distancia más corta entre el círculo de $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ y un punto aleatorio que yacen en él?

Esta pregunta es sólo una curiosidad ociosa. Básicamente, es el mismo que encontrar la diferencia entre el radio y la distancia promedio entre el punto al azar y su centro. Deje $D$ el valor de la distancia más corta entre el círculo de $(x-a)^2+(y-b)^2=r^2$ y el punto al azar,$P(X,Y)$, luego

\begin{equation} D=r-\sqrt{(X-a)^2+(Y-b)^2} \end{equation}

Podemos suponer $X$$Y$, de manera independiente, distribuidos de manera uniforme en $(0,a)$$(0,b)$, respectivamente. A continuación, su articulación pdf

\begin{equation} f_{X,Y}(x,y)=f_X(x)\cdot f_Y(y)=\frac{1}{ab} \end{equation}

Por lo tanto el promedio de $D$ es

\begin{equation} E[D]=\int_0^b\int_0^a d\ f_{X,Y}(x,y)\ dx\ dy=r-\frac{1}{ab}\int_0^b\int_0^a \sqrt{(x-a)^2+(y-b)^2}\ dx\ dy \end{equation}

Es mi enfoque correcto? Si no, ¿cómo hace uno para encontrar la correcta $E[D]$?

Answer 1

Si el punto se encuentra en un anillo radio $x$, espesor $\delta x$, en el centro del círculo, la distancia es $r-x$. El aro tiene área $2\pi x\ \delta x$ y el círculo tiene área $\pi r^2$. Así que asumiendo la distribución de los % de punto $P$es uniforme sobre el disco, la distancia esperada es $\frac{1}{\pi r^2}\int_0^r(r-x)2\pi x\ dx=\frac{r}{3}$.

Answer 2

sea $X$ la distancia entre un punto en un círculo y el centro. Además, asumimos que la probabilidad de un punto en una fracción de un círculo es proporcional al área de la fracción.

$f(x)$ es una función de densidad de probabilidad de $X$

Si pensamos en un anillo con un radio interior $a$ y $x$, de radio exterior

$\int_{a}^{x}f(t)dt= P(a<X<x)=\frac{\pi (x^2-a^2)}{\pi R^2}=\frac{x^2-a^2}{R^2}$

usando el Teorema fundamental del cálculo, $f(x)=\frac{2x}{R^2}$

Por lo tanto, (promedio de $X$) = $\int_{0}^{R}xf(x)dx=\frac{2R}{3}$

El valor deseado sería $R-\frac{2R}{3}=\frac{R}{3}$