Diferenciación en colectores, segunda derivada

Question

Dejemos que $F$ sea una función suave sobre un colector y $v$ campo vectorial. Establezca

$$G(x) := dF_x(v(x)).$$

Si $w$ es otro campo vectorial, ¿cómo puedo calcular $dG_x(w(x))$ ? Supongo que debería ser

$$dG_x(w(x)) = d^2F_x(v(x),w(x)),$$

pero no estoy seguro de cómo hacer funcionar el formalismo (cómo definir $d^2F$ ?)

Answer 1

Si piensas en $G$ como una composición de mapas entre variedades $$ M \mathop{\to}_v TM \mathop{\to}_{dF} \Bbb R,$$ entonces sólo hay que aplicar la regla de la cadena para obtener $D_xG(w) = D_vdF(D_x v(w))$ donde las derivadas se toman en haces tangentes superiores:

$$ TM \mathop{\to}_{Dv} TTM \mathop{\to}_{DdF} \Bbb R.$$

En coordenadas se puede expandir esto usando derivadas parciales a $DG(w) = w^i v^j F_{,ij} + w^i F_{,j} v^j_{,i}$ Así que si se tiene una estructura riemanniana se obtiene una fórmula sin coordenadas, algo parecido a lo que se buscaba:

$$ DG(w) = \nabla^2 F(v,w) + dF( \nabla_w v ).$$

Aquí $\nabla$ es la conexión de Riemann y $\nabla^2$ el hessiano covariante.