Usted ha encontrado la solución para la primera derivada, la idea es la de utilizar esta solución para bootstrap sí mismo para el siguiente derivados.
Primero de todos, usted puede asumir que $f(0) =0$, ya que siempre puede traducir la función verticalmente sin afectar los ceros de los derivados. Por tanto, la pregunta puede ser pensado de forma equivalente como:
Si $\displaystyle\lim_{x\to \infty} f(x) = f(0) = 0$ por cada $n \in \mathbb N$, existe alguna $c_n$ tal que $f^{(n)}(c_n)=0$.
Como la motivación, considere el siguiente incorrecta, pero útil idea: es tentador decir que si $f(x)$ converge como $x\to \infty$$f'(x) \xrightarrow{x\to\infty} 0$, aunque esto no es cierto! (Por ejemplo, $\frac1x\sin(x^2)$$C^\infty$$[0,\infty)$.) No obstante, vamos a pensar en qué pasaría si esto fuera cierto. Por su argumento anterior, usted sabe que hay algo de $c_1$ tal que $f'(c_1) =0$$\displaystyle\lim_{x\to\infty} f'(x) = 0$. Esta es precisamente la misma pregunta, sólo que ahora se han desplazado el problema de$0$$c$! Por lo tanto tu mismo argumento anterior muestra que hay algunos $c_2$ tal que $f''(c_2) = 0$. Ahora proceder inductivamente para obtener el resto de los derivados.
El problema es lidiar con el hecho de que $\lim_{x\to \infty} f(x)$ necesidad no converge a cero (o convergen en todo caso). De forma heurística, esto ocurrirá si la derivada es siempre oscilante más rápido y más rápido como $x$ se hace más grande, pero tales funciones típicamente exhiben las cualidades deseadas de el problema de todos modos! Entonces, ¿cómo podemos rodear este problema? Tomamos un discretos de muestreo y utilizar el mismo argumento. Por tanto, una forma en la que puede proceder es la siguiente:
La primera nota que claramente $f(x)$ $f(y)$ arbitrariamente cerca para suficientemente grande $x$$y$. En efecto, por definición sabemos que para todos los $\epsilon >0$ hay un $N \in \mathbb R$ tal que $x>N$ implica $|f(x)-f(0)|<\frac\epsilon2$. Por lo tanto, si $x,y>N$
$$|f(x)-f(y)| \leq |f(x)-f(0)|+|f(y)-f(0)| < \epsilon.$$
Deje $I_n = [2n, 2n+1]$. Por el Valor medio Teorema, hay algunos $d_n$ tal que $f'(d_n) = f(2n+1)-f(2n)$, y como $n \to \infty$, por lo que el $f'(d_n) \xrightarrow{n\to\infty}0$ por el argumento anterior. Aviso que esto es esencialmente lo que quería decir en mi motivación párrafo, sólo que no era cierto con un parámetro continuo $x$, pero ahora es verdadero el uso de una secuencia de $(d_n)_{n=1}^\infty$.
Ahora su argumento anterior muestra que hay algo de $c$ tal que $f'(c) =0$. Por el teorema del valor extremo, $f'(x)$ siempre tendrán su max/min en el intervalo de $[c,d_n]$. Es fácil argumentar que desde $f'(d_n) \to 0$, luego de lo suficientemente grande $n$, max/min se produce en el interior de $[c,d_n]$, digamos en el punto de $c_2$. Este punto de $c_2$ es fundamental para $f'(x)$, y así satisface $f''(c_2) =0$.
Ahora bootstrap: quieres encontrar una secuencia de $d_n^2$ tal que $f''(d_n^2) \to 0$. Por el MVT, hay un punto de $d_n^2 \in (d_{2n},d_{2n+1})$ tal que
$$f''(d_n^2) = \frac{f'(d_{2n+1})-f'(d_{2n})}{d_{2n+1}-d_{2n}} \leq f'(d_{2n+1})-f'(d_{2n})$$
(desde $d_{2n+1}-d_{2n}>1$: pensar acerca de esto), y este llega a cero. Enjuague y repita.
Edit: Espero que es claro que la pista está incrustado en mi solución. De nuevo, si usted tiene que $\displaystyle \lim_{x\to\infty} f'(x) = 0$$f'(c_1)=0$, entonces usted está hecho desde que usted sólo tiene que repetir su argumento para encontrar una $c_2 > c_1$ tal que $f''(c_2) = 0$. Si $f'(x)$ admite infinidad de extremos (este es el caso que he eludido por tomar un discretos de muestreo), entonces uno de los extremos se encuentra en el interior (este es mi $[c,d_n]$) argumento, y así que la derivada tiene un punto que se desvanece.
